Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn 0;π2 thỏa mãn ∫0π2f2x−22.fx.sinx−π4dx=π−22. Tích phân ∫0π2fxdx bằng A. π4 B. 0 C. π2 D. 1

Đáp án B.Đặt I=∫0π2f2x−22.fx.sinx−π4dx.Ta có I=∫0π2fx−22.fx.sinx−π4+2sin2x−π4dx−∫0π22sin2x−π4dx⇔I=∫0π2fx−2.sinx−π42dx−∫0π22sin2x−π4dxCó ∫0π22sin2x−π4dx=∫0π21−cos2x−π2dx=∫0π21−sin2xdx=x+12cos2x0π2=π−22Mà I=π−22⇒∫0π2fx−2.sinx−π42dx=0 1Vì y=fx−2.sinx−π42 liên tục và không âm nên ⇒∫0π2fx−2.sinx−π42dx≥0Dấu ‘=’ xảy ra ⇔fx−2.sinx−π4=0.⇔fx=2.sinx−π4⇔∫0π2fxdx=∫0π22.sinx−π4dx=0.

Câu hỏi:

21/08/2021 252

Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{π - 2}{2}$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

$A . \frac{π}{4}$

B. 0

$C . \frac{π}{2}$

D. 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Đặt $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x$ .

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x$

$\Leftrightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x$

Có $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \cos (2 x - \frac{π}{2})] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \sin 2 x] d x = {(x + \frac{1}{2} \cos 2 x)}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π - 2}{2}$

Mà $I = \frac{π - 2}{2} \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x = 0 (1)$

Vì $y = {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2}$ liên tục và không âm nên $\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x \geq 0$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ .

$\Leftrightarrow f (x) = \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) d x = 0$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phương trình $\log_{3} (3 x - 2) = 3$ có nghiệm là

$A . \frac{25}{3}$

$B . \frac{29}{3}$

$C . \frac{11}{3}$

D. 87

Lời giải

Đáp án B.

Điều kiện $x > \frac{2}{3}$ .

Ta có $\log_{3} (3 x - 2) = 3 \Leftrightarrow 3 x - 2 = 3^{3} \Leftrightarrow x = \frac{29}{3}$

Câu 2

Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Số cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó là

A. 13

B. 5

C. 8

D. 40

Lời giải

Đáp án A.

Để chọn được 1 bóng đèn trong hộp ta có 2 trường hợp.

TH1. Chọn được bóng đèn màu đỏ có 8 cách.

TH2. Chọn được bóng đèn màu xanh có 5 cách.

Do đó theo quy tắc cộng ta có 8 + 5 = 13 cách

Câu 3

Nếu $" \log_{3} = a "$ thì $\frac{1}{\log_{81} 100}$ bằng

$A . a^{4}$

B. 16a

$C . \frac{a}{8}$

D. 2a

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x - 4) - \log_{3} (2) > 0$ là

A. x>6

B. x>4

C. Vô nghiệm

D. 0<x<1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là

$A . \vec{n_{P}} = (- 1; 3; 2)$

$B . \vec{n_{P}} = (1; 0; - 3)$

$C . \vec{n_{P}} = (1; - 3; 0)$

$D . \vec{n_{P}} = (1; - 3; - 2)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

$A . y = - x^{3} - 3 x^{2} - 2$

$B . y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$

$C . y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$

$D . y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử