Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn 0;π2 thỏa mãn ∫0π2f2x−22.fx.sinx−π4dx=π−22. Tích phân ∫0π2fxdx bằng A. π4 B. 0 C. π2 D. 1

Đáp án B.Đặt I=∫0π2f2x−22.fx.sinx−π4dx.Ta có I=∫0π2fx−22.fx.sinx−π4+2sin2x−π4dx−∫0π22sin2x−π4dx⇔I=∫0π2fx−2.sinx−π42dx−∫0π22sin2x−π4dxCó ∫0π22sin2x−π4dx=∫0π21−cos2x−π2dx=∫0π21−sin2xdx=x+12cos2x0π2=π−22Mà I=π−22⇒∫0π2fx−2.sinx−π42dx=0 1Vì y=fx−2.sinx−π42 liên tục và không âm nên ⇒∫0π2fx−2.sinx−π42dx≥0Dấu ‘=’ xảy ra ⇔fx−2.sinx−π4=0.⇔fx=2.sinx−π4⇔∫0π2fxdx=∫0π22.sinx−π4dx=0.

Câu hỏi:

21/08/2021 183

Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{π - 2}{2}$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

$A . \frac{π}{4}$

B. 0

Đáp án chính xác

$C . \frac{π}{2}$

D. 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Đặt $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x$ .

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x$

$\Leftrightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x$

Có $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \cos (2 x - \frac{π}{2})] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \sin 2 x] d x = {(x + \frac{1}{2} \cos 2 x)}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π - 2}{2}$

Mà $I = \frac{π - 2}{2} \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x = 0 (1)$

Vì $y = {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2}$ liên tục và không âm nên $\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x \geq 0$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ .

$\Leftrightarrow f (x) = \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) d x = 0$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Phương trình $\log_{3} (3 x - 2) = 3$ có nghiệm là

$A . \frac{25}{3}$

$B . \frac{29}{3}$

$C . \frac{11}{3}$

D. 87

Xem đáp án » 21/08/2021 11,757

Câu 2:

Nếu $" \log_{3} = a "$ thì $\frac{1}{\log_{81} 100}$ bằng

$A . a^{4}$

B. 16a

$C . \frac{a}{8}$

D. 2a

Xem đáp án » 21/08/2021 3,739

Câu 3:

Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Số cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó là

A. 13

B. 5

C. 8

D. 40

Xem đáp án » 21/08/2021 3,586

Câu 4:

Nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x - 4) - \log_{3} (2) > 0$ là

A. x>6

B. x>4

C. Vô nghiệm

D. 0<x<1

Xem đáp án » 21/08/2021 2,859

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án » 21/08/2021 1,684

Câu 6:

Mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là

$A . \vec{n_{P}} = (- 1; 3; 2)$

$B . \vec{n_{P}} = (1; 0; - 3)$

$C . \vec{n_{P}} = (1; - 3; 0)$

$D . \vec{n_{P}} = (1; - 3; - 2)$

Xem đáp án » 21/08/2021 1,477

Câu 7:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

$A . y = - x^{3} - 3 x^{2} - 2$

$B . y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$

$C . y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$

$D . y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$

Xem đáp án » 21/08/2021 1,468

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{π - 2}{2}$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Phương trình $\log_{3} (3 x - 2) = 3$ có nghiệm là

Nếu $" \log_{3} = a "$ thì $\frac{1}{\log_{81} 100}$ bằng

Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Số cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó là

Nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x - 4) - \log_{3} (2) > 0$ là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là

Mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn 0;π2 thỏa mãn ∫0π2f2x−22.fx.sinx−π4dx=π−22. Tích phân ∫0π2fxdx bằng

Nhà sách VIETJACK:

Phương trình log33x−2=3 có nghiệm là

Nếu "log3=a" thì 1log81100 bằng

Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Số cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó là

Nghiệm của bất phương trình log3x−4−log32>0 là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=1fx−1 là

Mặt phẳng P:x−3y+2=0 có vectơ pháp tuyến là

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{π - 2}{2}$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

Phương trình $\log_{3} (3 x - 2) = 3$ có nghiệm là

Nếu $" \log_{3} = a "$ thì $\frac{1}{\log_{81} 100}$ bằng

Nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x - 4) - \log_{3} (2) > 0$ là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là

Mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là