Cho bình nước hình trụ có bán kính đáy r₁ và chiều cao h₁ (có bỏ qua chiều dày đáy và thành bình), hai quả nặng A và B dạng hình cầu đặc có bán kính lần lượt là r và 2r. Biết rằng $h_1>2r_1,r_1>2r$ và bình đang chứa một lượng nước. Khi ta bỏ quả cầu A và bình thì thấy thể tích nước tràn ra là 2 lít. Khi ta nhấc quả cầu A ra và thả quả cầu B vào bình thì thể tích nước tràn ra là 7 lít. Giá trị bán kính r bằng

Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =$\sqrt{1+x}$  và trục Ox quay quanh Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{2\text{x}-1}{x+5}$ trên đoạn [-1;3].

Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $\log \left(60x^2+120x+10m-10\right)>1+3\log \left(x+1\right)$ có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến x. Số phần tử của S là

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị (C). Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng -1 cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (C) (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;2] và $f\left(0\right)=-1;f\left(2\right)=2$. Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)d\text{x}$ bằng

Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số $y=a^x,y=b^x$ có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng y=3 cắt trục tung, đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ lần lượt các điểm H, M, N. Biết rằng HM=2MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2, q = 4. Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng