Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên 0; π thỏa mãn ∫0πfxcosxdx=A, fπ2=0 và ∫0πf'x2dx=2A2π, ở đó A là hằng số. Tính ∫0π4f2xdx theo A A. 4A B. A2 C. Aπ D. π2A

Đáp án CTheo phương pháp tích phân từng phần, ta có: A=∫0πfxcosxdx=fxsinx0π−∫0πf'xsinxdx=−∫0πf'xsinxdxSuy ra ∫0πf'xsinxdx=−ATa lại có: ∫0πsin2xdx=∫0π1−cos2x2dx=x2−sin2x40π=π2Mặt khác, ∫0πf'x2dx=2A2π. Gọi X là số thực thỏa mãn 2A2π+2−AX+X2π2=0⇔2πA−Xπ22=0⇒X=2AπTừ đó ta có:∫0πf'x2dx+22Aπ∫0πf'xsinxdx+4A2π2∫0πsin2xdx=0 hay ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0Do f'(x), sinx liên tục nên f'x+2Aπsinx2 không âm, liên tục và ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0 do đó f'x+2Aπsinx=0 trên 0, πHay f'x=−2Aπsinx trên 0, π.Lấy nguyên hàm hai vế trên 0, π, ta có: fx=2Aπcosx+C với ∀x∈0, π.Theo giả thiết fπ2=0 nên C=0. Vậy fx=2Aπcosx với ∀x∈0, π.Khi đó ∫0π4f2xdx=∫0π42Aπcos2xdx=Aπsin2x0π4=Aπ.

Câu hỏi:

25/08/2021 303

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên $[0; π]$ thỏa mãn $\int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = A$ , $f (\frac{π}{2}) = 0$ và $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \frac{2 A^{2}}{π}$ , ở đó A là hằng số. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (2 x) d x$ theo A

A. 4A

$B . \frac{A}{2}$

$C . \frac{A}{π}$

$D . π^{2} A$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: $A = \int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = f (x) \sin x |_{0}^{π} - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x$

Suy ra $\int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - A$

Ta lại có: $\int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x = (\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4}) |_{0}^{π} = \frac{π}{2}$

Mặt khác, $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \frac{2 A^{2}}{π}$ . Gọi X là số thực thỏa mãn $\frac{2 A^{2}}{π} + 2 (- A) X + X^{2} \frac{π}{2} = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{\frac{2}{π}} A - X \sqrt{\frac{π}{2}})}^{2} = 0 \Rightarrow X = \frac{2 A}{π}$

Từ đó ta có:

$\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x + 2 \frac{2 A}{π} \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x + \frac{4 A^{2}}{π^{2}} \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = 0$ hay $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$

Do f'(x), sinx liên tục nên ${(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2}$ không âm, liên tục và $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$ do đó $f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x = 0$ trên $[0, π]$

Hay $f^{'} (x) = - \frac{2 A}{π} \sin x$ trên $[0, π]$ .

Lấy nguyên hàm hai vế trên $[0, π]$ , ta có: $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x + C$ với $\forall x \in [0, π]$ .

Theo giả thiết $f (\frac{π}{2}) = 0$ nên C=0. Vậy $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x$ với $\forall x \in [0, π]$ .

Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (2 x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{2 A}{π} \cos 2 x d x = \frac{A}{π} \sin 2 x |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{A}{π}$ .