Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB; mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ

Đáp án B

Gọi $a=\frac{SK}{SC}\left(0\le a\le 1\right)$

Vì mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức $\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SK}=\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}\Rightarrow 2+\frac{1}{a}=\frac{3}{2}+\frac{SD}{SQ}\iff \frac{SQ}{SD}=\frac{2a}{2+a}$.

Ta có $\frac{V_{S.MNKQ}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{2}\left(\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SK}{SC}+\frac{SM}{SA}.\frac{SK}{SC}.\frac{SQ}{SD}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4a}{3}-\frac{2}{a+2}\right)=\frac{2a}{3}-\frac{1}{a+2}$

Xét hàm $f\left(a\right)=\frac{2\text{a}}{3}-\frac{1}{a+2}$ trên đoạn [0;1], ta được $\underset{\left[0;1\right]}{\max }f\left(a\right)=f\left(1\right)=\frac{1}{3}$.

Ta chứng minh $\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}=\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}$

Ta có $V_{S.ABCD}=V_{SPNQ}+V_{SQMP}$ (*). Ta đặt $V=V_{S.ABCD}\Rightarrow V_{SABC}=V_{SAB\text{D}}=V_{SBC\text{D}}=\frac{V}{2}$

$\frac{V_{SMNQ}}{V_{SABD}}=\frac{2V_{SMNQ}}{V}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SQ}{SD}\Rightarrow V_{SNMQ}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SQ}{SD}.\frac{V}{2}$

Tương tự $$\begin{gathered} V_{SPNQ}=\frac{SP}{SC}.\frac{SN}{SB}.\frac{SQ}{SD}.\frac{V}{2};V_{SMNP}=\frac{SP}{SC}.\frac{SN}{SB}.\frac{SM}{SA}.\frac{V}{2}; \\ {V}_{SPQM}=\frac{SP}{SC}.\frac{SM}{SA}.\frac{SQ}{SD}.\frac{V}{2} \end{gathered}$$.

Từ (*) ta được: $\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SQ}{SD}+\frac{SP}{SC}.\frac{SN}{SB}.\frac{SQ}{SD}=\frac{SP}{SC}.\frac{SN}{SB}.\frac{SM}{SA}+\frac{SP}{SC}.\frac{SM}{SA}.\frac{SQ}{SD}$

Chia cả 2 vế cho $\frac{SP}{SC}.\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SQ}{SD}$ ta được $\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}=\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}$