Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x+\sqrt{y}}{2}.$ Tính  $P=x+y.$

Chọn A.

Đặt $OA=a,OB=b,OC=c.$

Gọi M là trung điểm của BC dựng trục đường tròn $∆$ ngoại tiếp tam giác OBC trên mặt phẳng (OAM) kẻ đường trung trực của đoạn OA cắt $∆$ tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC

+) $OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2},R=\sqrt{M{I}^2+O{M}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

+) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AH\\ BC\perp AO\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(OAH\right)\Rightarrow BC\perp OH.$

$$\begin{gathered} \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow OH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\Rightarrow AH=\sqrt{O{A}^2+O{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{b^2{c}^2}{b^2+c^2}} \\ =\sqrt{\frac{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}{\sqrt{b^2+c^2}}} \end{gathered}$$

Suy ra $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}}{\sqrt{b^2+c^2}}.\sqrt{b^2+c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}.$

+) Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp O.ABC

Khi đó: $d\left(J;\left(OAB\right)\right)=d\left(J;\left(OBC\right)\right)=d\left(J;\left(OAC\right)\right)=d\left(J;\left(ABC\right)\right)=r.$

    $$\begin{gathered} V_{O.ABC}=V_{J.ABC}+V_{J.OBC}+V_{J.AOC}+V_{J.ABO} \\ \iff \frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}r\left(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta OBC}+S_{\Delta AOC}+S_{\Delta ABO}\right) \end{gathered}$$

$\iff \frac{1}{2}abc=r\left(\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right).$

$\iff \frac{1}{r}=\frac{1}{abc}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right).$

Suy ra: $\frac{R}{r}=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right)$

                $\ge \frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}}\left(\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2.a^2{c}^2.b^2{c}^2}}+3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\right)$

                $=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}\left(\sqrt{3}.\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}+3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\right)=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{27}}{2}.$

Vậy $P=a+b=30.$ Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.