Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (Đề số 21)

Câu 1

Cho lăng trụ đều $A B C . A' B' C'$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi $α$ là góc giữa mặt phẳng $(A' B C)$ và mặt phẳng (ABC). Tính $\tan α .$

$A . \tan α = \sqrt{3} .$

$B . \tan α = 2$

$C . \tan α = \frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

$D . \tan α = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Lời giải

Chọn C.

Gọi M là trung điểm của BC suy ra $\{\begin{cases} B C ⊥ A M \\ B C ⊥ A' A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ A' M .$

Vậy $\{\begin{cases} (A' B C) \cap (A B C) = B C \\ B C ⊥ A M, B C ⊥ A' M \end{cases} \Rightarrow α = ((A' B C); (A B C)) = (A M; A' M) = \hat{A' M A} .$

Tam giác đều cạnh a nên $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Suy ra: $\tan α = \tan \hat{A' M A} = \frac{A A'}{A M} = \frac{a}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

Câu 2

Cho các số thực x,y thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y .$

$A . \frac{1}{e}$

B. e

C. 1

D. 0

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: $y > 0, x > - \sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\ln y + \ln 3 \geq \ln (x^{3} + 2) \Leftrightarrow \ln 3 y \geq \ln (x^{3} + 2) \Leftrightarrow 3 y \geq x^{3} + 2 \Leftrightarrow 3 (y - x) \geq x^{3} - 3 x + 2$

Xét hàm số $h (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên $(- \sqrt[3]{2}; + \infty) .$

Ta có: $h' (x) = 3 x^{2} - 3, h' (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

$h (- 1) = 4, h (1) = 0, h (- \sqrt[3]{2}) = 3 \sqrt[3]{2} > 0.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: $\min_{(- \sqrt[3]{2}; + \infty)} h (x) = 0.$ Suy ra: $3 (y - x) \geq 0 \Leftrightarrow y - x \geq 0.$

Ta có: $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y = e^{y - x + 3 y - (x^{3} + 2)} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) \geq e^{y - x} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) .$

Xét hàm số $g (t) = e^{t} - \frac{1}{2} t^{2} - t$ trên $[0; + \infty) .$

Ta có: $g' (t) = e^{t} - t - 1, g " (t) = e^{t} - 1.$

Ta có: $\forall t \geq 0 \Rightarrow g " (t) = e^{t} - 1 \geq e^{0} - 1 = 0,$ suy ra hàm số g'(t) đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Suy ra: $\forall t \geq 0 : g' (t) \geq g' (0) = 0,$ suy ra hàm số g(t) đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Vậy $\min_{[0; + \infty)} g (t) = g (0) = 1,$ Suy ra: $H_{\min} = 1.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} x = y \\ 3 y = x^{3} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1.$

Câu 3

Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng $N' (t) = \frac{2000}{1 + 2 t}$ và lúc đàu đám vi trùng có 300000 con. Ký hiệu L là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm L

A. L=303044

B. L=306089

C. L=300761

D. L=301522

Lời giải

Chọn A.

Ta có $N' (t) = \frac{2000}{1 + 2 t} \Rightarrow N (t) = \int_{}^{} \frac{2000}{1 + 2 t} d t = 1000 \ln (1 + 2 t) + C .$

Lúc đầu đám vi trùng có 300000 con suy ra $N (0) = 300000.$

Khi đó $1000 \ln (1 + 2.0) + C = 300000 \Leftrightarrow C = 300000.$

Suy ra $N (t) = 1000 \ln (1 + 2 t) + 300000.$

Vậy $L = N (10) = 1000 \ln 21 + 300000 = 303044.$

Câu 4

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và có dấu của f'(x) như sau
Hàm số $y = f (2 - x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y' = - f' (2 - x) .$ Xét $y' = 0 \Leftrightarrow - f' (2 - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 - x = - 1 \\ 2 - x = 1 \\ 2 - x = 2 \\ 2 - x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$ .

Bảng xét dấu của y'

Từ bảng xét dấu, ta sy ra hàm số $y = f (2 - x)$ có tất cả 3 điểm cực trị

Câu 5

Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$

A. 30

B. 6

C. 60

D. 27

Lời giải

Chọn A.

Đặt $O A = a, O B = b, O C = c .$

Gọi M là trung điểm của BC dựng trục đường tròn $∆$ ngoại tiếp tam giác OBC trên mặt phẳng (OAM) kẻ đường trung trực của đoạn OA cắt $∆$ tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC

+) $O M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{b^{2} + c^{2}}, R = \sqrt{M I^{2} + O M^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

+) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC suy ra:

$\{\begin{cases} B C ⊥ A H \\ B C ⊥ A O \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (O A H) \Rightarrow B C ⊥ O H .$

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \Rightarrow O H = \frac{b c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} \Rightarrow A H = \sqrt{O A^{2} + O H^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{b^{2} c^{2}}{b^{2} + c^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}}$

Suy ra $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} . \sqrt{b^{2} + c^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} .$

+) Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp O.ABC

Khi đó: $d (J; (O A B)) = d (J; (O B C)) = d (J; (O A C)) = d (J; (A B C)) = r .$

$V_{O . A B C} = V_{J . A B C} + V_{J . O B C} + V_{J . A O C} + V_{J . A B O} \Leftrightarrow \frac{1}{6} a b c = \frac{1}{3} r (S_{Δ A B C} + S_{Δ O B C} + S_{Δ A O C} + S_{Δ A B O})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} a b c = r (\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a)) .$

$\Leftrightarrow \frac{1}{r} = \frac{1}{a b c} (\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + a b + b c + c a) .$

Suy ra: $\frac{R}{r} = \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} (\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + a b + b c + c a)$

$\geq \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}} (\sqrt{3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} . a^{2} c^{2} . b^{2} c^{2}}} + 3 \sqrt[3]{a b . b c . c a})$

$= \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{3} . \sqrt[3]{a b c} (\sqrt{3} . \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} + 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}) = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{27}}{2} .$

Vậy $P = a + b = 30.$ Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.

Câu 6

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính bằng r và độ dài đường sinh l là

$A . S_{x q} = π r l .$

$B . S_{x q} = r l .$

$C . S_{x q} = 2 r l .$

$D . S_{x q} = 2 π r l .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử