Cho các số thực x,y thỏa mãn lny≥lnx3+2−ln3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y. A. 1e B. e C. 1 D. 0

Chọn C.Điều kiện: y>0,x>−23Từ giả thiết ta có: lny+ln3≥lnx3+2⇔ln3y≥lnx3+2⇔3y≥x3+2⇔3y−x≥x3−3x+2Xét hàm số hx=x3−3x+2 trên −23;+∞.Ta có: h'x=3x2−3,h'x=0⇔3x2−3=0⇔x=−1x=1. h−1=4,h1=0,h−23=323>0.Bảng biến thiên:Từ bảng biến thiên suy ra: min−23;+∞hx=0. Suy ra: 3y−x≥0⇔y−x≥0.Ta có: H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y=ey−x+3y−x3+2−y−x22−y−x≥ey−x−y−x22−y−x.Xét hàm số gt=et−12t2−t trên 0;+∞.Ta có: g't=et−t−1,g"t=et−1.Ta có: ∀t≥0⇒g"t=et−1≥e0−1=0, suy ra hàm số g'(t) đồng biến trên 0;+∞.Suy ra: ∀t≥0:g't≥g'0=0, suy ra hàm số g(t) đồng biến trên 0;+∞.Vậy min0;+∞gt=g0=1, Suy ra: Hmin=1.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=y3y=x3+2⇔x=y=1.

Câu hỏi:

26/08/2021 1,131

Cho các số thực x,y thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y .$

$A . \frac{1}{e}$

B. e

C. 1

Đáp án chính xác

D. 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Điều kiện: $y > 0, x > - \sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\ln y + \ln 3 \geq \ln (x^{3} + 2) \Leftrightarrow \ln 3 y \geq \ln (x^{3} + 2) \Leftrightarrow 3 y \geq x^{3} + 2 \Leftrightarrow 3 (y - x) \geq x^{3} - 3 x + 2$

Xét hàm số $h (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên $(- \sqrt[3]{2}; + \infty) .$

Ta có: $h' (x) = 3 x^{2} - 3, h' (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

$h (- 1) = 4, h (1) = 0, h (- \sqrt[3]{2}) = 3 \sqrt[3]{2} > 0.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: $\min_{(- \sqrt[3]{2}; + \infty)} h (x) = 0.$ Suy ra: $3 (y - x) \geq 0 \Leftrightarrow y - x \geq 0.$

Ta có: $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y = e^{y - x + 3 y - (x^{3} + 2)} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) \geq e^{y - x} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) .$

Xét hàm số $g (t) = e^{t} - \frac{1}{2} t^{2} - t$ trên $[0; + \infty) .$

Ta có: $g' (t) = e^{t} - t - 1, g " (t) = e^{t} - 1.$

Ta có: $\forall t \geq 0 \Rightarrow g " (t) = e^{t} - 1 \geq e^{0} - 1 = 0,$ suy ra hàm số g'(t) đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Suy ra: $\forall t \geq 0 : g' (t) \geq g' (0) = 0,$ suy ra hàm số g(t) đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Vậy $\min_{[0; + \infty)} g (t) = g (0) = 1,$ Suy ra: $H_{\min} = 1.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} x = y \\ 3 y = x^{3} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1.$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Hàm số $y = {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ có tập xác định

$A . ℝ \ \{\pm 2\} .$

B. (-2;2)

$C . (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty) .$

$D . ℝ$

Xem đáp án » 26/08/2021 10,804

Câu 2:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}$ , $(x \neq 0, n \in ℕ *) .$

$A . 2^{8} C_{21}^{8} .$

$B . 2^{7} C_{21}^{7} .$

$C . - 2^{8} C_{21}^{8} .$

$D . - 2^{7} C_{21}^{7} .$

Xem đáp án » 26/08/2021 7,644

Câu 3:

Cắt một khối cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm thì được một hình tròn có diện tích bằng $16 π .$ Tính diện tích của mặt cầu giới hạn nên khối cầu đó?

$A . \frac{256 π}{3} .$

$B . 4 π$

$C . 16 π$

$D . 64 π$

Xem đáp án » 26/08/2021 6,158

Câu 4:

Cho một hình trụ có chiều cao 20cm. Cắt hình trụ đó bởi một mặt phẳng chứa trục của nó thì được thiết diện là một hình chữ nhật có chu vi 100cm. Tính thể tích của khối trục được giới hạn bởi hình trụ đã cho

$A . 4500 π c m^{3} .$

$B . 6000 π c m^{3} .$

$C . 3000 π c m^{3} .$

$D . 600 π c m^{3} .$

Xem đáp án » 26/08/2021 4,486

Câu 5:

Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$

A. 30

B. 6

C. 60

D. 27

Xem đáp án » 26/08/2021 2,259

Câu 6:

Hình bát diện đều có bao nhiêu đỉnh?

A. 8

B. 12

C. 10

D. 6

Xem đáp án » 26/08/2021 1,132

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số thực x,y thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y .$

Nhà sách VIETJACK:

Hàm số $y = {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ có tập xác định

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}$ , $(x \neq 0, n \in ℕ *) .$

Cắt một khối cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm thì được một hình tròn có diện tích bằng $16 π .$ Tính diện tích của mặt cầu giới hạn nên khối cầu đó?

Cho một hình trụ có chiều cao 20cm. Cắt hình trụ đó bởi một mặt phẳng chứa trục của nó thì được thiết diện là một hình chữ nhật có chu vi 100cm. Tính thể tích của khối trục được giới hạn bởi hình trụ đã cho

Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$

Hình bát diện đều có bao nhiêu đỉnh?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Hàm số y=4−x235<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mn>4</mn><mo>−</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></math> có tập xác định

Cắt một khối cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm thì được một hình tròn có diện tích bằng 16π.<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>16</mn><mi>π</mi><mo>.</mo></math> Tính diện tích của mặt cầu giới hạn nên khối cầu đó?

Cho một hình trụ có chiều cao 20cm. Cắt hình trụ đó bởi một mặt phẳng chứa trục của nó thì được thiết diện là một hình chữ nhật có chu vi 100cm. Tính thể tích của khối trục được giới hạn bởi hình trụ đã cho

Hình bát diện đều có bao nhiêu đỉnh?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Hàm số $y = {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ có tập xác định

Cắt một khối cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm thì được một hình tròn có diện tích bằng $16 π .$ Tính diện tích của mặt cầu giới hạn nên khối cầu đó?