Cho các số thực x,y thỏa mãn lny≥lnx3+2−ln3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y. A. 1e B. e C. 1 D. 0

Chọn C.Điều kiện: y>0,x>−23Từ giả thiết ta có: lny+ln3≥lnx3+2⇔ln3y≥lnx3+2⇔3y≥x3+2⇔3y−x≥x3−3x+2Xét hàm số hx=x3−3x+2 trên −23;+∞.Ta có: h'x=3x2−3,h'x=0⇔3x2−3=0⇔x=−1x=1. h−1=4,h1=0,h−23=323>0.Bảng biến thiên:Từ bảng biến thiên suy ra: min−23;+∞hx=0. Suy ra: 3y−x≥0⇔y−x≥0.Ta có: H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y=ey−x+3y−x3+2−y−x22−y−x≥ey−x−y−x22−y−x.Xét hàm số gt=et−12t2−t trên 0;+∞.Ta có: g't=et−t−1,g"t=et−1.Ta có: ∀t≥0⇒g"t=et−1≥e0−1=0, suy ra hàm số g'(t) đồng biến trên 0;+∞.Suy ra: ∀t≥0:g't≥g'0=0, suy ra hàm số g(t) đồng biến trên 0;+∞.Vậy min0;+∞gt=g0=1, Suy ra: Hmin=1.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=y3y=x3+2⇔x=y=1.

Câu hỏi:

26/08/2021 1,780

Cho các số thực x,y thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y .$

$A . \frac{1}{e}$

B. e

C. 1

D. 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Điều kiện: $y > 0, x > - \sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\ln y + \ln 3 \geq \ln (x^{3} + 2) \Leftrightarrow \ln 3 y \geq \ln (x^{3} + 2) \Leftrightarrow 3 y \geq x^{3} + 2 \Leftrightarrow 3 (y - x) \geq x^{3} - 3 x + 2$

Xét hàm số $h (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên $(- \sqrt[3]{2}; + \infty) .$

Ta có: $h' (x) = 3 x^{2} - 3, h' (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

$h (- 1) = 4, h (1) = 0, h (- \sqrt[3]{2}) = 3 \sqrt[3]{2} > 0.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: $\min_{(- \sqrt[3]{2}; + \infty)} h (x) = 0.$ Suy ra: $3 (y - x) \geq 0 \Leftrightarrow y - x \geq 0.$

Ta có: $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y = e^{y - x + 3 y - (x^{3} + 2)} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) \geq e^{y - x} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) .$

Xét hàm số $g (t) = e^{t} - \frac{1}{2} t^{2} - t$ trên $[0; + \infty) .$

Ta có: $g' (t) = e^{t} - t - 1, g " (t) = e^{t} - 1.$

Ta có: $\forall t \geq 0 \Rightarrow g " (t) = e^{t} - 1 \geq e^{0} - 1 = 0,$ suy ra hàm số g'(t) đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Suy ra: $\forall t \geq 0 : g' (t) \geq g' (0) = 0,$ suy ra hàm số g(t) đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Vậy $\min_{[0; + \infty)} g (t) = g (0) = 1,$ Suy ra: $H_{\min} = 1.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} x = y \\ 3 y = x^{3} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}$ , $(x \neq 0, n \in ℕ *) .$

$A . 2^{8} C_{21}^{8} .$

$B . 2^{7} C_{21}^{7} .$

$C . - 2^{8} C_{21}^{8} .$

$D . - 2^{7} C_{21}^{7} .$

Lời giải

Chọn D.

Số hạng thứ k+1 của khai triển có dạng: $T_{k + 1} = C_{21}^{k} x^{21 - k} {(- \frac{2}{x^{2}})}^{k} = C_{21}^{k} {(- 2)}^{k} x^{21 - 3 k} .$

Để số hạng không chứa x thì $21 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 7.$

Vậy số hạng không chứa x là $T_{8} = C_{21}^{7} {(- 2)}^{7} = - 2^{7} C_{21}^{7} .$

Câu 2

Hàm số $y = {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ có tập xác định

$A . ℝ \ \{\pm 2\} .$

B. (-2;2)

$C . (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty) .$

$D . ℝ$

Lời giải

Chọn B.

Hàm số $y = {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ xác định khi $4 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2.$

Vậy tập xác định của hàm số là: D=(-2;2)

Câu 3

Cắt một khối cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm thì được một hình tròn có diện tích bằng $16 π .$ Tính diện tích của mặt cầu giới hạn nên khối cầu đó?

$A . \frac{256 π}{3} .$

$B . 4 π$

$C . 16 π$

$D . 64 π$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho một hình trụ có chiều cao 20cm. Cắt hình trụ đó bởi một mặt phẳng chứa trục của nó thì được thiết diện là một hình chữ nhật có chu vi 100cm. Tính thể tích của khối trục được giới hạn bởi hình trụ đã cho

$A . 4500 π c m^{3} .$

$B . 6000 π c m^{3} .$

$C . 3000 π c m^{3} .$

$D . 600 π c m^{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$

A. 30

B. 6

C. 60

D. 27

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị $y = \log_{a} x, y = \log_{b} x$ và trục hoành lần lượt tại A,B và H phân biệt ta đều có $3 H A = 4 H B$ (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 4a=3b

$B . a^{3} b^{4} = 1.$

C. 3a=4b

$D . a^{4} b^{3} = 1.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho các số thực x,y thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y .$

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{21}$ , $(x \neq 0, n \in ℕ *) .$

Hàm số $y = {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ có tập xác định

Cắt một khối cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm thì được một hình tròn có diện tích bằng $16 π .$ Tính diện tích của mặt cầu giới hạn nên khối cầu đó?

Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$