Cho hình chóp S.ABC có $\widehat{BAC}={90}^0,AB=3a,AC=4a,$ hình chiếu của đỉnh S là một điểm H nằm trong $\Delta ABC.$ Biết khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau của hình chóp là $d\left(SA,BC\right)=\frac{6a\sqrt{34}}{17},d\left(SB,CA\right)=\frac{12a}{5},d\left(SC,AB\right)=\frac{12a\sqrt{13}}{13}.$ Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Chọn D

$\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2}=\sqrt{25a^2}=5a$.

Vẽ $\Delta MNP$ sao cho AB,BC,CA là các đường trung bình của $\Delta MNP\Rightarrow ACBN;ABCP$ là các hình bình hành; ABMC là hình chữ nhật và $MP=6a;MN=8a;NP=10a$

Ta có: $BC//\left(SNP\right)\Rightarrow d\left(SA,BC\right)=d\left(BC,\left(SNP\right)\right)=d\left(B,\left(SNP\right)\right)$

Lại có: $\frac{d\left(B,\left(SNP\right)\right)}{d\left(M,\left(SNP\right)\right)}=\frac{BN}{MN}=\frac{1}{2}\Rightarrow d\left(M,\left(SNP\right)\right)=2d\left(B,\left(SNP\right)\right)=2d\left(SA,BC\right)=\frac{12a\sqrt{34}}{17}$

Tương tự ta tính được:

$d\left(P,\left(SMN\right)\right)=2d\left(SB,CA\right)=\frac{24a}{5}$ và $d\left(N,\left(SMP\right)\right)=2d\left(SC,AB\right)=\frac{24a\sqrt{13}}{13}$

Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của H lên $NP,MP,MN$ và đặt $h=SH=d\left(S,\left(MNP\right)\right)$

Ta có: $SH\perp NP$ và $HD\perp NP\Rightarrow NP\perp \left(SHD\right)$

Chứng minh tương tự: $HE\perp \left(SMP\right);HF\perp \left(SMN\right)$

Do đó: $3V_{SMNP}=d\left(M,\left(SNP\right)\right).S_{SNP}=d\left(N,\left(SMP\right)\right).S_{SMP}$

$=d\left(P,\left(SMN\right)\right).S_{SMN}=d\left(S,\left(MNP\right)\right).S_{MNP}=h.S_{MNP}$

Mặt khác: $S_{SNP}=\frac{1}{2}SD.NP=5a.SD;S_{SMP}=\frac{1}{2}SE.MP=3a.SE;$

                $S_{SMN}=\frac{1}{2}SF.MN=4a.SF;S_{MNP}=\frac{1}{2}MN.MP=24a^2$

$\Rightarrow \frac{12a\sqrt{34}}{17}.5a.SD=\frac{24a\sqrt{13}}{13}.3a.SE=\frac{24a}{5}.4a.SF=24a^{2}h$

$\Rightarrow SD=\frac{h\sqrt{34}}{5};SE=\frac{h\sqrt{13}}{3};SF=\frac{5h}{4}$

Ta lại có: $HD=\sqrt{S{D}^2-S{H}^2}=\sqrt{\frac{34h^2}{25}-h^2}=\sqrt{\frac{9h^2}{25}}=\frac{3h}{5}$

               $HE=\sqrt{S{E}^2-S{H}^2}=\sqrt{\frac{13h^2}{9}-h^2}=\sqrt{\frac{4h^2}{9}}=\frac{2h}{3}$

                $HF=\sqrt{S{F}^2-S{H}^2}=\sqrt{\frac{25h^2}{16}-h^2}=\sqrt{\frac{9h^2}{16}}=\frac{3h}{4}$

Mà $S_{MNP}=S_{HNP}+S_{HMP}+S_{HMN}=\frac{1}{2}HD.NP+\frac{1}{2}HE.MP+\frac{1}{2}HF.MN$

$\Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{3h}{5}.10a+\frac{1}{2}.\frac{2h}{3}.6a+\frac{1}{2}.\frac{3h}{4}.8a=24a^2\Rightarrow 8ah=24a^2\Rightarrow h=3a$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}h.S_{ABC}=\frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}.3a.4a=6a^3$