Ông An muốn xây một bể nước chứa dạng hình hộp chữ nhật, phần nắp trên ông để trống một ô có diện tích bằng 20% diện tích của đáy bể. Biết đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, bể có thể chứa tối đa $10m^3$ nước và giá tiền thuê nhân công là 500000 đồng/ $m^2$. Số tiền ít nhất mà ông phải trả cho nhân công gần nhất với đáp án nào dưới đây?

Đáp án A

Phương pháp giải:

- Gọi chiều rộng của bế nước là x(x>0)(m) thì chiều dài của bể nước là 2x(m). Gọi chiều cao của bể nước là $h\left(h>0\right)\left(m\right)$, dựa vào công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật rút h theo x.

- Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (trừ đi diện tích của ô trống bằng 20% diện tích của đáy). Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c là $S_{tp}=2\left(ab+bc+ca\right)$.

- Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$. Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=c$.

Giải chi tiết:

Gọi chiều rộng của bế nước là x(x>0)(m) thì chiều dài của bể nước là 2x(m). Gọi chiều cao của bể nước là h(h>0)(m). ta có thể tích bể nước là $V=2x.x.h=10\iff h=\frac{5}{x^2}\left(m\right)$.

Diện tích xung quanh của bể nước là: $S_{xq}=2\left(2x.h+x.h\right)=6xh=\frac{30}{x}\left(m^2\right)$.

Diện tích một đáy là $2x.x=2x^2\left(m\right)$, suy ra diện tích 2 đáy (trừ đi diện tích của ô trống bằng 20% diện tích của đáy) là: $2x^2.80\%+2x^2=\frac{18}{5}{x}^2\left(m^2\right)$.

⇒ Diện tích toàn phần của bể nước là: $\frac{30}{x}+\frac{18}{5}{x}^2\left(m^2\right)$

Để giá tiền phải trả là ít nhất thì diện tích toàn phần của bể là nhỏ nhất.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $\frac{30}{x}+\frac{18}{5}{x}^2=\frac{15}{x}+\frac{15}{x}+\frac{18}{5}{x}^2\ge 3\sqrt[3]{\frac{15}{x}.\frac{15}{x}.\frac{18}{5}{x}^2}=9\sqrt[3]{30}$.

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{15}{x}=\frac{18}{5}{x}^2\iff x=\sqrt[3]{\frac{25}{6}}\left(m\right)$.

Vậy số tiền phải trả cho nhân công ít nhất là $9\sqrt[3]{30}.0,5\approx 14$ triệu đồng