Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên BB'C'C là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa CC' và mặt phẳng (ABB'A') bằng $\frac{a\sqrt{12}}{5}$. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Kẻ $B^{\text{'}}H\perp BC\left(H\in BC\right)$. Chứng minh $B^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$.

- Đặt $B^{\text{'}}H=x\left(x>0\right)$, tính BH theo x.

- Gọi M là trung điểm của AB, trong (ABC) kẻ $HK//CM\left(K\in AB\right)$, tính  theo x, từ đó tính $S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ theo x.

- Tính $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3}{2}{V}_{C.AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{3}{2}{B}^{\text{'}}K.S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.d\left(C;\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=B^{\text{'}}H.S_{\Delta ABC}$. Giải phương trình tìm x, từ đó tính $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Giải chi tiết:

Kẻ $B^{\text{'}}H\perp BC\left(H\in BC\right)$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\perp \left(ABC\right)=BC\\ B^{\text{'}}H\subset \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right);B^{\text{'}}H\perp BC\end{array}\right.$$\Rightarrow B^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$.

Đặt $B^{\text{'}}H=x\left(x>0\right)\Rightarrow BH=\sqrt{a^2-x^2}$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông BB'H).

Gọi M là trung điểm của AB ta có $CM\perp AB$ và $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (do $\Delta ABC$ đều ạnh a ).

Trong (ABC) kẻ $HK//CM\left(K\in AB\right)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có:

 $\frac{HK}{CM}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow \frac{HK}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$ $\Rightarrow HK=\frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2-x^2}}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  ta có:

Ta có: $B^{\text{'}}{K}^2=B^{\text{'}}{H}^2+H{K}^2=x^2+\frac{3}{4}\left(a^2-x^2\right)=\frac{3}{4}{a}^2+\frac{1}{4}{x}^2\Rightarrow B^{\text{'}}K=\frac{\sqrt{3a^2+x^2}}{2}$.

Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp B^{\text{'}}H\\ AB\perp HK\left(HK//CM\right)\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(B^{\text{'}}HK\right)\Rightarrow AB\perp B^{\text{'}}K$

Ta có: $S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=B^{\text{'}}K.AB=\frac{a\sqrt{3a^2+x^2}}{2}$.

$C{C}^{\text{'}}//B{B}^{\text{'}}\Rightarrow C{C}^{\text{'}}//\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow d\left(C{C}^{\text{'}};\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=d\left(C;\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=\frac{a\sqrt{12}}{5}$

$\Rightarrow V_{C.AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}{S}_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.d\left(C;\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)$

$=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3a^2+x^2}}{2}.\frac{a\sqrt{12}}{5}$

$=\frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{30}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3}{2}.\frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{30}=\frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{20}$

Lại có $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=B^{\text{'}}H.S_{\Delta ABC}=x.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow \frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{20}=x.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$\iff \frac{2\sqrt{3a^2+x^2}}{5}=x\iff 4\left(3a^2+x^2\right)=25x^2$

$\iff 21x^2=12a^2\iff x=\frac{2\sqrt{7}}{7}a$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=x.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\sqrt{7}}{7}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{21}{a}^3}{14}$.