Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên $\left[-20;20\right]$ để hàm số $y=\frac{\sin x+m}{\sin x-1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$

Đáp án C

- Đặt $t=\sin x$, xét trên khoảng $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, tìm khoảng giá trị tương ứng của t, xét xem t có cùng tính tăng giảm với x hay không.

- Đưa bài toán về dạng tìm m để hàm số y=f(t) đơn điệu trên khoảng cho trước.

Đặt t=sinx, với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ thì t giảm từ 1 về 0.

Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để hàm số $y=\frac{t+m}{t-1}$ đồng biến trên (0;1) (*).

TXĐ: $D=R\backslash \left\{1\right\}\Rightarrow$ Hàm số đã cho xác định trên (0;1). Ta có $y\text{'}=\frac{-1-m}{{\left(t-1\right)}^2}$.

Do đó $\left(*\right)\iff \frac{-1-m}{{\left(t-1\right)}^2}>0\iff -1-m>0\iff m<-1$.

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $-20\le m<-1, m\in Z\Rightarrow m\in \left\{-20;-19;-18;...;-2\right\}$.

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là $-20-19-18-...-2=-209$