Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc với AB=6a, AC=9a, AD=3a. Gọi M,N,P lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Thể tích của khối tứ diện AMNP bằng:

Đáp án A

- Gọi $M_1, N_1, P_1$ lần lượt là trung điểm của BC,CD,BD sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh $V_{AMNP}$ và $V_{A{M}_1{N}_1{P}_1}$.

- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $A.M_1{N}_1{P}_1$ và A.BCD, sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.

- Tính thể tích khối tứ diện ABCD là $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB.AC.AD$, từ đó tính được $V_{AMNP}$

Gọi $M_1, N_1, P_1$ lần lượt là trung điểm của BC,CD,BD ta có $\frac{AM}{A{M}_1}=\frac{AN}{A{N}_1}=\frac{AP}{A{P}_1}=\frac{2}{3}$.

Khi đó $\frac{V_{AMNP}}{V_{A{M}_1{N}_1{P}_1}}=\frac{AM}{A{M}_1}.\frac{AN}{A{N}_1}.\frac{AP}{A{P}_1}=\frac{8}{27}$.

Dễ thấy $\Delta M_1{N}_1{P}_1$ đồng dạng với tam giác DBC theo tỉ số $k=\frac{1}{2}$ nên $\frac{S_{M_1{N}_1{P}_1}}{S_{DBC}}=\frac{1}{4}$.

Mà hai khối chóp $A.M_1{N}_1{P}_1$ và A.BCD có dùng chiều cao nên $\frac{V_{A.M_1{N}_1{P}_1}}{V_{ABCD}}=\frac{S_{M_1{N}_1{P}_1}}{S_{DBC}}=\frac{1}{4}$.

Lại có $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB.AC.AD=\frac{1}{6}.6a.9a.3a=27a^3\Rightarrow V_{A.M_1{N}_1{P}_1}=\frac{1}{4}{V}_{ABCD}=\frac{27a^3}{4}$.

Vậy $V_{AMNP}=\frac{8}{27}{V}_{A{M}_1{N}_1{P}_1}=\frac{8}{27}.\frac{27a^3}{4}=2a^3$