Câu hỏi:

29/08/2021 19,892

Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc với AB=6a, AC=9a, AD=3a. Gọi M,N,P lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Thể tích của khối tứ diện AMNP bằng:

A. $2 a^{3}$

B. $4 a^{3}$

C. $6 a^{3}$

D. $8 a^{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

- Gọi $M_{1}, N_{1}, P_{1}$ lần lượt là trung điểm của BC,CD,BD sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh $V_{A M N P}$ và $V_{A M_{1} N_{1} P_{1}}$ .

- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $A . M_{1} N_{1} P_{1}$ và A.BCD, sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.

- Tính thể tích khối tứ diện ABCD là $V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D$ , từ đó tính được $V_{A M N P}$

Gọi $M_{1}, N_{1}, P_{1}$ lần lượt là trung điểm của BC,CD,BD ta có $\frac{A M}{A M_{1}} = \frac{A N}{A N_{1}} = \frac{A P}{A P_{1}} = \frac{2}{3}$ .

Khi đó $\frac{V_{A M N P}}{V_{A M_{1} N_{1} P_{1}}} = \frac{A M}{A M_{1}} . \frac{A N}{A N_{1}} . \frac{A P}{A P_{1}} = \frac{8}{27}$ .

Dễ thấy $Δ M_{1} N_{1} P_{1}$ đồng dạng với tam giác DBC theo tỉ số $k = \frac{1}{2}$ nên $\frac{S_{M_{1} N_{1} P_{1}}}{S_{D B C}} = \frac{1}{4}$ .

Mà hai khối chóp $A . M_{1} N_{1} P_{1}$ và A.BCD có dùng chiều cao nên $\frac{V_{A . M_{1} N_{1} P_{1}}}{V_{A B C D}} = \frac{S_{M_{1} N_{1} P_{1}}}{S_{D B C}} = \frac{1}{4}$ .

Lại có $V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} . 6 a . 9 a . 3 a = 27 a^{3} \Rightarrow V_{A . M_{1} N_{1} P_{1}} = \frac{1}{4} V_{A B C D} = \frac{27 a^{3}}{4}$ .

Vậy $V_{A M N P} = \frac{8}{27} V_{A M_{1} N_{1} P_{1}} = \frac{8}{27} . \frac{27 a^{3}}{4} = 2 a^{3}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn là hai chữ số lẻ?

A. $4! C_{4}^{1} . C_{5}^{1}$

B. $3! C_{3}^{2} . C_{5}^{2}$

C. $4! C_{4}^{2} . C_{5}^{2}$

D. $3! C_{4}^{2} . C_{5}^{2}$

Lời giải

Đáp án C

- Sử dụng tổ hợp chọn 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

- Sử dụng hoán vị.

Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau và khác 0 có $C_{4}^{2}$ cách chọn.

Chọn 2 chữ số lẻ khác nhau có $C_{5}^{2}$ cách chọn.

Hoán đổi 4 chữ số đã chọn có 4! cách.

Vậy có tất cả $4! C_{4}^{2} . C_{5}^{2}$ số thỏa mãn

Câu 2

Cho hàm số $f (x) = \ln 2020 - \ln (\frac{x + 1}{x})$ . Tính $S = f' (1) + f' (2) + . . . + f' (2020)$

A. S=2020

B. S=2021

C. $S = \frac{2021}{2020}$

D. $S = \frac{2020}{2021}$

Lời giải

Đáp án D

- Sử dụng công thức $\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$

- Sử dụng công thức tính đạo hàm ${(\ln u)}^{'} = \frac{u'}{u}$

- Thay lần lượt $x = 1; 2; . . .; 2020$ rút gọn và tính S.

Ta có:

$f (x) = \ln 2020 - \ln (\frac{x + 1}{x}) = \ln 2020 - \ln (x + 1) + \ln x$

$\Rightarrow f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Khi đó ta có

$S = f' (1) + f' (2) + . . . + f' (2020) S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021} S = 1 - \frac{1}{2021} = \frac{2020}{2021}$