Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa $\left(d\right):\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{-2}$ và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $\left(P\right):x+by+cz+d=0$. Giá trị b+c+d là:

Đáp án D

Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và (P) tạo với Oy góc lớn nhất.

Vì (P) chứa d nên (P) đi qua điểm M(1;−2;0).

Phương trình mặt phẳng (P) là $\left(P\right):a\left(x-1\right)+b\left(y+2\right)+cz=0\left(1\right)$.

Điều kiện $a^2+b^2+c^2>0$.

Vì N(0;−1;2) nên N thuộc (P).

Do vậy ta có –a+b+2c = 0 hay a = b+2c.

Thay vào (1) ta được: $\left(b+2c\right)x+by+cz+b-2c=0\left(2\right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(b+2c;b;c\right)$, trục Oy có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$.

Gọi $\alpha$ là góc của Oy và (P) ta có $\sin \alpha =\left|\cos \left(\overrightarrow{j},\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right)\right|=\frac{\left|b\right|}{\sqrt{2b^2+5c^2+4cb}}$.

Trường hợp 1: b = 0 thì α = 0.

Trường hợp 2: b ≠ 0 thì $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{2+5{\left(\frac{c}{b}\right)}^2+4\left(\frac{c}{b}\right)}}$.

Đặt $t=\frac{c}{b}$, xét hàm số $f\left(t\right)=5t^2+4t+2$.

Ta có sinα lớn nhất khi $f\left(t\right)=5t^2+4t+2$ nhỏ nhất $\iff t=-\frac{2}{5}\iff \frac{c}{b}=-\frac{2}{5}\iff c=-\frac{2b}{5}$.

Thay vào (2), ta được: $\left(b-\frac{4b}{5}\right)x+by-\frac{2b}{5}z+b+\frac{4b}{5}=0\iff x+5y-2z+9=0.$

Cách 2:

Ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{v_d}=\left(1;-1;-2\right)$; vectơ chỉ phương của Oy là $\overrightarrow{v_{Oy}}=\left(0;1;0\right)$.

Gọi $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{v_{\Delta }},\overrightarrow{J}\right]=\left(\left|\begin{array}{l}-1-2\\ 10\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}-21\\ 00\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}1-1\\ 01\end{array}\right|\right)=\left(2;0;1\right).$

Gọi $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$ là vectơ pháp tuyến của (P), suy ra $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{v_{\Delta }}\right]=\left(\left|\begin{array}{l}01\\ -1-2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}12\\ -21\end{array}\right|;\left|\begin{array}{l}20\\ 1-1\end{array}\right|\right)=\left(1;5;-2\right).$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $1.\left(x-1\right)+5.\left(y+2\right)-2z=0\iff x+5y-2z+9=0$