Khi chia số tự nhiên M cho 12 ta được số dư là 10. Hỏi M có chia hết cho 2, cho 3, cho 4 hay không?

Lời giải:

a) Phát biểu a) là đúng vì 11.$4^4$+ 16 chia hết cho 4 mà 4 lại chia hết cho 2 nên 11. $4^4$ + 16 chia hết cho 2.

b) Vì 24 chia hết cho 3 nên 24.8 chia hết cho 3

Mà 17 không chia hết cho 3

Nên theo tính chất chia hết của một hiệu thì 24.8 – 17 không chia hết cho 3.

Do đó phát biểu b) sai.

c) Ta có: 2. $3^4$ = 2. $3^2.3^2$  = 2.9.9 chia hết cho 9;

Mà 136.3 không chia hết cho 9

Nên theo tính chất chia hết của một hiệu thì 136.3 – 2.34 không chia hết cho 9.

Do đó phát biểu c) là sai.

d) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2 với n là số tự nhiên.

+) Quan hệ chia hết của n(n + 1)(n + 2) với 2

- Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 2. Suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2.

- Nếu n là số lẻ thì n + 1 là số chẵn nên n + 1 chia hết cho 2. Suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2.

Do đó n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n (1).

+) Quan hệ chia hết của n(n + 1)(n + 2) với 3

- Nếu n chia hết cho 3 thì n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

- Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1 với k là số tự nhiên. Khi đó n + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3. Suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

- Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 với k là số tự nhiên. Khi đó n + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3. Suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.

Do đó n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n (2).

Từ (1) và (2) suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3 với mọi số tự nhiên n hay tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, cho 3.

Suy ra phát biểu d) là đúng.

Vậy phát biểu sai là b) và c).

Lời giải:

a) Ta có 15 = 5.3 nên 15 chia hết cho 3. Suy ra 15.16.17 chia hết cho 3.

Để P = 15.16.17 + a chia hết cho 3 thì a phải chia hết cho 3

Ta lại có 15.16.17 = 3.5.2.8.17 = 3.10.8.17 chia hết cho 10.

Để P = 15.16.17 + a chia hết cho 10 thì a phải chia hết cho 10

Từ (1) và (2) suy ra a = 0.

Vậy với a = 0 để P = 15.16.17 + a vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10.

b) Vì 125 có chữ số tận cùng là 5 nên 125 chia hết cho 5

Để 125 – a chia hết 5 thì a chia hết cho 5

Mà 90 < a < 100 nên a = 95

Vậy a = 95.