Câu hỏi:

12/07/2024 399

Với các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x3+ y3+ 2xy.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: x2+ 2xy + y2 = (x + y)2= 12= 1 (1)

A = x3+ y3+ 2xy

= (x + y)(x2– xy + y2) + 2xy

= x2– xy + y2+ 2xy

= x2+ xy + y2

Suy ra : 2A = 2x2+ 2xy + 2y2= (x + y)2+ x2+ y2= 1 + x2+ y2

Lại có: (x – y)2≥ 0

⇒ x2– 2xy + y2≥ 0 (2)

Từ (1) và (2)

⇒ (x2+ 2xy + y2) + (x2– 2xy + y2) ≥ 1

⇒ 2(x2+ y2) ≥ 1

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 1 \ge \frac{3}{2}\]

\[ \Rightarrow 2A \ge \frac{3}{2}\]

\[ \Rightarrow A \ge \frac{3}{4}\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\]

Vậy với \[x = y = \frac{1}{2}\] thì giá trị nhỏ nhất của \[A \ge \frac{3}{4}\].

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2+ b2+ c2= ab + bc + ca, chứng minh rằng a = b = c.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,716

Câu 2:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) A = x2– 5x + 4;

2) B = 9x2+ 4y2– 12xy – 4;

Xem đáp án » 11/07/2024 819

Câu 3:

Cho tam giác ABC có M, D lần lượt là trung điểm của BC, AC, P là hình chiếu vuông góc của B lên trung trực của AC. Gọi E là giao điểm của MP với AB, F là giao điểm của EM với AC

1 Chứng minh: BFCP là hình bình hình.

2) Tia DM cắt tia BP tại Q. Chứng minh: DPQF là hình chữ nhật.

3) Chứng minh: Tam giác EBP cân

Xem đáp án » 23/03/2022 781

Câu 4:

Tìm x sao cho (x + 2)3+ (x – 2)3= 24x + 16.

Xem đáp án » 12/07/2024 395
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay