Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) A = x²– 5x + 4;

2) B = 9x²+ 4y²– 12xy – 4;

Hướng dẫn giải

a²+ b²+ c²= ab + bc + ca

⇔ 2(a² + b² + c²) = 2ab+ 2bc + 2ca

⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

⇔ (a² – 2ab + b²) + (b² – 2bc + c²) + (a² – 2ac + c²) =0

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0

Vì (a – b)² ≥ 0 với ∀ a, b

Vì (b – c)² ≥ 0 với ∀ c, b

Vì (a – c)² ≥ 0 với ∀ a, c

⇒ (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² ≥ 0

Để (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\)

⇔ a = b = c (đpcm).

Hướng dẫn giải

1) Ta có:

BP ⊥ d (gt)

CF ⊥ d (do d là đường trung trực AC)

⇒ BP // CF

Xét ΔBMP và ΔCMF có:

\(\widehat {BMP} = \widehat {FMC}\) (đối đỉnh)

BM = MC (gt)

\(\widehat {PBM} = \widehat {MCF}\) (so le trong)

⇒ ΔBMP = ΔCMF (g.c.g)

⇒ PM = MF

Xét tứ giác BPCF có:

PM = MF (cmt)

BM = MC (do M là trung điểm BC)

⇒ Tứ giác BPCF là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

2) Xét ΔPMQ và ΔFMD có:

\(\widehat {PMQ} = \widehat {FMD}\)(cmt)

PM = MF (cmt)

\(\widehat {MPQ} = \widehat {MFD}\) (do BP // CF, so le trong)

⇒ ΔPMQ = ΔFMD (g.c.g)

⇒ QM = MD

⇒ M là trung điểm QD

Xét tứ giác DPQF có

M là trung điểm của QD (cmt)

M là trung điểm của PF (cmt)

⇒Tứ giác DPQF là hình bình hành

Lại có: PD ⊥ DF (do d là đường trung trực của AC mà PD thuộc d và DF thuộc AC)

Hình bình hành DPQF có một góc vuông

⇒ DPQF là hình chữ nhật

3) Ta có: DPQF là hình chữ nhật

⇒ PF = QD (2 đường chéo của hình chữ nhật) và PM = QM (=1/2 PF = 1/2 QD)

Xét ΔPMQ có PM = QM ⇒ ΔPMQ cân tại M

\( \Rightarrow \widehat {MPQ} = \widehat {MQP}\) (1)

Tứ giác BPCF là hình bình hành ⇒ BP = CF

Tứ giác DPQF là hình chữ nhật ⇒ PQ = DF

Suy ra BP + PQ = CF + DF ⇒ BQ = DC

Mà DC = AD (vì D là trung điểm của AC)

Xét tứ giác ADQB có AD = BQ và AD//BQ

⇒ ADQB là hình bình hành

⇒ AB // QD

\( \Rightarrow \widehat {EBP} = \widehat {MQP}\) (so le trong (2)

Ta có : \(\widehat {BPE} = \widehat {MPQ}\) (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {BPE} = \widehat {EBP}\)

Xét ΔEBP có: \(\widehat {BPE} = \widehat {EBP}\) (cmt)

⇒ ΔEBP cân tại E