Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên đoạn [1;3] và fx≠0 với mọi x∈1;3, đồng thời f'x+1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b,a,b∈ℤ. Tính tổng S=a+b2. A. S = -1. B. S = 2. C....

Chọn A. Ta có: f'(x)(1+f(x))2=[(f(x))2(x−1)]2<=>f'(x)(1+f(x))2f4(x)=(x−1)2. Lấy nguyên hàm 2 vế ta được ∫f'(x)(1+f(x))2f4(x)dx=∫(x−1)2dx <=>∫(1+2f(x)+f2(x))f'(x)f4(x)dx=∫(x−1)2dx<=>∫1f4(x)+21f3(x)+1f2(x)d(f(x))=(x−1)33+C<=>−13f3(x)−1f2(x)−1f(x)=(x−1)33+C<=>−1+3f(x)+3f2(x)3f3(x)=(x−1)33+C Mà f(1)=−1=>−1−3+3−3=C=>C=13 =>−1+3f(x)+3f2(x)3f3(x)=(x−1)33+13<=>1+3f(x)+3f2(x)3f3(x)+13=−(x−1)33<=>(1+f(x))3f3(x)=−(x -1)3<=>1+1f(x)3=(1-x)3<=>f(x)=−1x. Vậy ∫13f(x)dx=∫13−1xdx=−ln|x|31=−ln3. Suy ra a=−1;b=0 hay a+b=−1.

Câu hỏi:

22/04/2022 1,060

Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm $f' (x)$ liên tục trên đoạn [1;3] và $f (x) \neq 0$ với mọi $x \in [1; 3]$ , đồng thời $f' (x) + {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}$ và $f (1) = - 1 .$ Biết rằng $\int_{1}^{3} f (x) d x = a \ln 3 + b, a, b \in ℤ .$ Tính tổng $S = a + b^{2} .$

A. S = -1.

B. S = 2.

C. S = 0.

D. S= -4.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A.

Ta có: $f' (x) {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2} < = > \frac{f' (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} = {(x - 1)}^{2.}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $\int \frac{f' (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x$

$\begin{array}{l} < = > \int \frac{(1 + 2 f (x) + f^{2} (x)) f' (x)}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x \\ < = > \int (\frac{1}{f^{4} (x)} + 2 \frac{1}{f^{3} (x)} + \frac{1}{f^{2} (x)}) d (f (x)) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ < = > - \frac{1}{3 f^{3} (x)} - \frac{1}{f^{2} (x)} - \frac{1}{f (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ < = > - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \end{array}$

Mà $f (1) = - 1 = > - \frac{1 - 3 + 3}{- 3} = C = > C = \frac{1}{3}$

$\begin{array}{l} = > - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + \frac{1}{3} \\ < = > \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} + \frac{1}{3} = - \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} \\ < = > \frac{{(1 + f (x))}^{3}}{f^{3} (x)} = - {(x - 1)}^{3} \\ < = > {(1 + \frac{1}{f (x)})}^{3} = {(1 - x)}^{3} \\ < = > f (x) = \frac{- 1}{x} . \end{array}$

Vậy $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} \frac{- 1}{x} d x = - \ln | x | |\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array} = - \ln 3$ . Suy ra $a = - 1; b = 0$ hay $a + b = - 1$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D),$ đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

A. $\frac{3 a}{\sqrt{7}} .$

B. $\frac{3 a \sqrt{2}}{2} .$

\frac{2 a}{\sqrt{5}} .

D. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3} .$

Lời giải

Chọn C.

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu của A lên SD, ta chứng minh được $A H ⊥ (S C D)$ .

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}} .$

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (1; 0; 2), B (1; 2; 1), C (3; 2; 0)$ và D(1;1;3). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 4 t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 4 \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 2 - 2 t \end{cases} .

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 4 + 4 t \\ z = 4 + 2 t \end{cases} .

Lời giải

Chọn D.

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) nhận vectơ pháp tuyến của (BCD) là vectơ chỉ phương.

Ta có $\vec{B C} = (2; 0; - 1), \vec{B D} = (0; - 1; 2) .$

$\Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n} = [\vec{B C}, \vec{B D}] = (- 1; - 4; - 2) .$

Khi đó ta loại phương án A và B

Thay điểm A(1;0;2) vào phương trình ở phương án D ta có $\{\begin{cases} 1 = 2 + t \\ 0 = 4 + 4 t \\ 2 = 4 + 2 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{cases} .$

Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên D là phương án đúng.

Câu 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $S A ⊥ (A B C) .$ Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc $30^{0}$ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{8 a^{3}}{9}$ .

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

C. $\frac{4 a^{3}}{9}$ .

D. $\frac{8 a^{3}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;2) song song với mặt phẳng $(P) : x - y + z + 3 = 0$ đồng thời cắt đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = 2 \end{cases} .$

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases} .

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 - t \end{cases} .

D. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

$\int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d x$ bằng:

e^{3} - e .

\frac{1}{3} (e^{4} + e) .

e^{4} - e .

\frac{1}{3} (e^{4} - e) .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính $\int (x - \sin 2 x) d x .$

A. $x^{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

B. $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

\frac{x^{2}}{2} + \cos 2 x + C .

\frac{x^{2}}{2} + \sin x + C .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 5}{3} .$ Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 3) .$

B. $\vec{u_{4}} = (- 2; - 4; 6) .$

\vec{u_{3}} = (2; 6; - 4) .

\vec{u_{1}} = (3; - 1; 5) .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm f'x liên tục trên đoạn [1;3] và fx≠0 với mọi x∈1;3, đồng thời f'x+1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+b,a,b∈ℤ. Tính tổng S=a+b2.

Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0;2,B1;2;1,C3;2;0 và D(1;1;3). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA⊥ABC. Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc 300. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;2) song song với mặt phẳng P:x−y+z+3=0 đồng thời cắt đường thẳng d:x−11=y−21=z−31 có phương trình là:

∫01e3x+1dx bằng:

Tính ∫x−sin2xdx.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−32=y+1−2=z−53. Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D),$ đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (1; 0; 2), B (1; 2; 1), C (3; 2; 0)$ và D(1;1;3). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $S A ⊥ (A B C) .$ Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc $30^{0}$ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;2) song song với mặt phẳng $(P) : x - y + z + 3 = 0$ đồng thời cắt đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ có phương trình là:

$\int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d x$ bằng:

Tính $\int (x - \sin 2 x) d x .$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 5}{3} .$ Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?