Có bao nhiêu bộ $(x;y)$ với x, y nguyên và $1\le x,y\le 2020$ thỏa mãn $\left(xy+2x+4y+8\right){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)\le \left(2x+3y-xy-6\right){\log }_2\left(\frac{2x+1}{x-3}\right)?$

Chọn A

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x,y\in N*:x,y\le 2020\\ \frac{2x+1}{x-3}>0,\frac{2y}{y+2}>0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x,y\in N*:x,y\le 2020\\ x>3,y>0\end{array}\right..$

BPT cho có dạng $(x-3)(y-2){\log }_2\left(\frac{x+4}{x-2}+1\right)+(x+4)(y+2){\log }_3\left(\frac{y-2}{y+2}+1\right)\le 0(*).$

Xét y = 1 thì (*) thành $-(x-3){\log }_2\left(\frac{x+4}{x-3}+1\right)+3(x+4){\log }_3\frac{2}{3}\le 0$, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi x > 3 vì $-(x-3)<0;{\log }_2\left(\frac{x+4}{x-3}+1\right)>{\log }_2(0+1)=0,3(x+4)>0,{\log }_3\frac{2}{3}<0.$ 

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ $(x;y)=(x;1)$ với $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}.$

Xét y = 2 thì (*) thành $4(x+4){\log }_{3}1\le 0,$BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}.$

Trường hợp này cho ta 2017 cặp (x;y) nữa.

Với y > 2, x > 3 thì VT(*) > 0 nên (*) không xảy ra

Vậy có đúng 4034 bộ số (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.