Cho hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số $y=\frac{x^4+2x^3-4x^2-8x}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2+2f\left(x\right)-3}$ có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

 

Ta có ${\left[f\left(x\right)\right]}^2+2f\left(x\right)-3=0\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=1\\ f\left(x\right)=-3\end{array}.$

Phương trình $f\left(x\right)=1$ có nghiệm $x=\mathrm{0,}x=m,x=n$ trong đó $x=0$ là nghiệm kép.

Do đó $f\left(x\right)-1=a{x}^2(x-m)(x-n).$

Phương trình $f\left(x\right)=-3$ có 2 nghiệm kép $x=\mathrm{2,}x=-2.$

Do đó $f\left(x\right)+3=a{(x-2)}^2+{(x+2)}^2.$

Vì vậy ${\left[f\left(x\right)\right]}^2+2f\left(x\right)-3=a^2{x}^2(x-m)(x-n){(x-2)}^2{(x+2)}^2.$

Khi đó ta được hàm số $y=\frac{x(x-2){(x+2)}^2}{a^2{x}^2(x-m)(x-n){(x-2)}^2{(x+2)}^2}.$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=+\infty$ nên đương thẳng  là tiệm cận đứng.

$\underset{x\to m^{+}}{\lim }y=+\infty$ nên đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng.

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=-\infty$ nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng.

$\underset{x\to -2}{\lim }y=\frac{-4}{a^{2}8(-2-m)(-2-n)}$ nên đường thẳng $x=-2$ không là tiệm cận đứng.

$\underset{x\to n^{+}}{\lim }y=+\infty$ nên đường thẳng $x=2$  là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 tiệm cận đứng.

Đáp án D