Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng ${45}^{\circ }$. Mặt phẳng ($\alpha$) qua A và vuông góc với SC và chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích của khối đa diện có chứa điểm S và  $V_2$là thể tích của khối đa diện còn lại. Tìm tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$? 

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông (ABCD) cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc . Thể tích của hình trụ bằng

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a\sqrt{3}$, BD = 3a, hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A'B'C'D') là trung điểm của A'C'. biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD'C') bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}$. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BD. Tìm thể tích khối tứ diện GABD

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', đáy ABC có  AC = $a\sqrt{3}$, BC = 3a, $\widehat{ACB}= {30}^{\circ }$. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc ${60}^{\circ }$ và mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh  BC sao cho  BC = 3BH và mặt phẳng (A'AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ  (ABC.A'B'C')bằng:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa AB đi qua điểm C' nằm trên cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số $\frac{SC\text{'}}{SC}$

Các trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều cạnh  a là các đỉnh của khối đa diện đều. Tính thể tích V của khối đa diện đều đó.

Cho lăng trụ tam giác có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^{\circ }$. Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ($A_1{B}_1{C}_1$) thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}_1$ và $B_1{C}_1$ theo a là: