Tuyển tập Bài tập Hình học không gian ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P3)

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng ${45}^{\circ }$. Mặt phẳng ($\alpha$) qua A và vuông góc với SC và chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích của khối đa diện có chứa điểm S và  $V_2$là thể tích của khối đa diện còn lại. Tìm tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$? 

Trong không gian, cho hình (H) gồm mặt cầu S(I;R) và đường thẳng $△$ đi qua tâm I của mặt cầu (S). Số mặt phẳng đối xứng của hình (H) là:

Trong không gian, cho hai đường thẳng I, $△$ vuông góc và cắt nhau tại O. Hình tròn xoay khi quay đường thẳng l quanh trục  $△$là:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng ${60}^{\circ }$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A'A, BC bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a  (a > 0). Hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc ${45}^{\circ }$. Biết SB = a và hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác cân tại A và $\widehat{BAC} = {120}^{\circ }, BC =$2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm A, N, M, B.

Trong không gian mặt cầu (S) tiếp xúc với 6 mặt của một hình lập phương cạnh a, thể tích khối cầu (S) bằng

Cho tứ diện ABCD đều có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2=\frac{11a^2}{2}$ là mặt cầu

Cho hình chóp đều n cạnh (n $\ge$3). Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là R và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  ${60}^{\circ }$, thể tích khối chóp bằng $\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2$. Tìm n?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BD. Tìm thể tích khối tứ diện GABD

Tìm thể tích của hình chóp S.ABC biết  SA = a, SB = $a\sqrt{2}$, SC = 2a và có  $\widehat{BSA} ={60}^{\circ }, \widehat{CSA}= {60}^{\circ }, \widehat{BSC}= {60}^{\circ }$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a với SA = $\frac{a}{2}$, SB = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\widehat{BAD}={60}^{\circ }$ và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Thể tích tứ diện K.SDC có giá trị là: 

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BCD}={120}^{\circ }$ và  AA' = $\frac{7a}{2}$Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Cho lăng trụ tam giác có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^{\circ }$. Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ($A_1{B}_1{C}_1$) thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}_1$ và $B_1{C}_1$ theo a là:

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^{\circ }$. Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ($A_1{B}_1{C}_1$) thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A_1.ABC$.

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh  a, (SAB) $\perp$(ABCD). H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB. Gọi $\alpha$là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của $\tan \alpha$ là: 

Cho mặt nón tròn xoay đỉnh O có góc ở đỉnh bằng ${60}^{\circ }$. Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục của mặt nón tại H, biết  OH = a. Khi đó, (P) cắt mặt nón theo đường tròn có bán kính bằng:

Gọi l và R lần lượt là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện. Hỏi rằng trong số các tứ diện, tứ diện nào thì tỉ số $\frac{l}{R}$đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó? 

Hình tứ diện đều có số mặt phẳng đối xứng là

Cho hình trụ T có trục OO' Trên hai đường tròn đáy (O) và (O') lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB = a và đường thẳng AB tạo với đáy của hình trụ góc ${60}^{\circ }$. Gọi hình chiếu của B trên mặt phẳng đáy chứa đường tròn (O) là B'. Biết rằng  $\widehat{AOB}= {120}^{\circ }$. Tính khoảng cách  d giữa hai đường thẳng AB và O