Tuyển tập Bài tập Hình học không gian ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P3)

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng ${45}^{\circ }$. Mặt phẳng ($\alpha$) qua A và vuông góc với SC và chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích của khối đa diện có chứa điểm S và  $V_2$là thể tích của khối đa diện còn lại. Tìm tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$? 

Trong không gian, cho hình (H) gồm mặt cầu S(I;R) và đường thẳng $△$ đi qua tâm I của mặt cầu (S). Số mặt phẳng đối xứng của hình (H) là:

Trong không gian, cho hai đường thẳng I, $△$ vuông góc và cắt nhau tại O. Hình tròn xoay khi quay đường thẳng l quanh trục  $△$là:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng ${60}^{\circ }$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A'A, BC bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a  (a > 0). Hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc ${45}^{\circ }$. Biết SB = a và hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác cân tại A và $\widehat{BAC} = {120}^{\circ }, BC =$2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm A, N, M, B.

Trong không gian mặt cầu (S) tiếp xúc với 6 mặt của một hình lập phương cạnh a, thể tích khối cầu (S) bằng

Cho tứ diện ABCD đều có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2=\frac{11a^2}{2}$ là mặt cầu

Cho hình chóp đều n cạnh (n $\ge$3). Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là R và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  ${60}^{\circ }$, thể tích khối chóp bằng $\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2$. Tìm n?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BD. Tìm thể tích khối tứ diện GABD

Tìm thể tích của hình chóp S.ABC biết  SA = a, SB = $a\sqrt{2}$, SC = 2a và có  $\widehat{BSA} ={60}^{\circ }, \widehat{CSA}= {60}^{\circ }, \widehat{BSC}= {60}^{\circ }$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a với SA = $\frac{a}{2}$, SB = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\widehat{BAD}={60}^{\circ }$ và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Thể tích tứ diện K.SDC có giá trị là: 

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BCD}={120}^{\circ }$ và  AA' = $\frac{7a}{2}$Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Cho lăng trụ tam giác có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^{\circ }$. Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ($A_1{B}_1{C}_1$) thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}_1$ và $B_1{C}_1$ theo a là:

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ${30}^{\circ }$. Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ($A_1{B}_1{C}_1$) thuộc đường thẳng $B_1{C}_1$. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A_1.ABC$.

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh  a, (SAB) $\perp$(ABCD). H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB. Gọi $\alpha$là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của $\tan \alpha$ là: 

Cho mặt nón tròn xoay đỉnh O có góc ở đỉnh bằng ${60}^{\circ }$. Một mặt phẳng (P) vuông góc với trục của mặt nón tại H, biết  OH = a. Khi đó, (P) cắt mặt nón theo đường tròn có bán kính bằng:

Gọi l và R lần lượt là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện. Hỏi rằng trong số các tứ diện, tứ diện nào thì tỉ số $\frac{l}{R}$đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó? 

Hình tứ diện đều có số mặt phẳng đối xứng là

Cho hình trụ T có trục OO' Trên hai đường tròn đáy (O) và (O') lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho AB = a và đường thẳng AB tạo với đáy của hình trụ góc ${60}^{\circ }$. Gọi hình chiếu của B trên mặt phẳng đáy chứa đường tròn (O) là B'. Biết rằng  $\widehat{AOB}= {120}^{\circ }$. Tính khoảng cách  d giữa hai đường thẳng AB và O

Các trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều cạnh  a là các đỉnh của khối đa diện đều. Tính thể tích V của khối đa diện đều đó.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa AB đi qua điểm C' nằm trên cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số $\frac{SC\text{'}}{SC}$

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Nhận định nào sau đây đúng

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', đáy ABC có  AC = $a\sqrt{3}$, BC = 3a, $\widehat{ACB}= {30}^{\circ }$. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc ${60}^{\circ }$ và mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh  BC sao cho  BC = 3BH và mặt phẳng (A'AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ  (ABC.A'B'C')bằng:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a\sqrt{3}$, BD = 3a, hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A'B'C'D') là trung điểm của A'C'. biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD'C') bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}$. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A,  AB = a và  AC = $a\sqrt{2}$. Biết rằng ((ABC),(AB'C')) = ${60}^{\circ }$ và hình chiếu A lên  (A'B'C') là trung điểm H của A'B'. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB'C'.

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông (ABCD) cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc . Thể tích của hình trụ bằng

Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo OA = OB. Khi đó tỉ số  tổng thể tích của hai hình nón $\left(V_n\right)$  và thể tích hình trụ $\left(V_t\right)$ bằng 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tự diện CMNP.