Cho bất phương trình ${\log }_{3a}11+{\log }_{\frac{1}{7}}\left(\sqrt{x^2+3ax+10}+4\right).{\log }_{3a}\left(x^2+3ax+12\right)\ge 0.$ Giá trị thực của tham số $a$ để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Đặt $m=3a$ khi đó bất phương trình đã cho trở thành

${\log }_{m}11+{\log }_{\frac{1}{7}}\left(\sqrt{x^2+mx+10}+4\right).{\log }_m\left(x^2+mx+12\right)\ge 0$        $\left(1\right)$

Điều kiện của bất phương trình là $m>0;m\ne 1;x^2+mx+10\ge 0.$ Ta có:

$\left(1\right)\iff \frac{1-{\log }_7\left(\sqrt{x^2+mx+10}+4\right).{\log }_{11}\left(x^2+mx+12\right)}{{\log }_{11}m}\ge 0$         $\left(2\right)$

Đặt $u=x^2+mx+\mathrm{10,}u\ge 0.$

* Với $0<m<1.$ Ta có

            $\left(2\right)\iff f\left(u\right)={\log }_7\left(\sqrt{u}+4\right).{\log }_{11}\left(u+2\right)\ge 1=f\left(9\right).$      $\left(3\right)$

Vì $f\left(u\right)$ là hàm tăng trên $\left(0;+\infty \right)$ nên từ $\left(3\right)$ ta có

            $f\left(u\right)\ge f\left(9\right)\iff u\ge 9\iff x^2+mx+1\ge 0.$       $\left(4\right)$

$\left(4\right)$ vô số nghiệm vì $\Delta =m^2-4<0$ với $\forall m\in \left(0;1\right).$ Suy ra $0<m<1$ không thỏa bài toán.

* Với $m>1.$ Ta có

            $\left(2\right)\iff f\left(u\right)\le f\left(9\right)\iff 0\le u\le 9\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+mx+10\ge 0\left(5\right)\\ x^2+mx+1\le 0\left(6\right)\end{array}\right.$

Xét $\left(6\right)$, ta có $\Delta =m^2-4.$

            + $m^2-4<0\iff 1<m<2$ thì $\left(6\right)$ vô nghiệm. Không thỏa bài toán.

            + $m^2-4>0\iff m>2$ thì $\left(6\right)$ có nghiệm là đoạn $\left[x_1;x_2\right]$, lúc này $\left(5\right)$ nhận hơn 1 số của $\left[x_1;x_2\right]$ làm nghiệm. Không thỏa bài toán.

            + $m^2-4=0\iff m=2$ thì $\left(6\right)$ có nghiệm duy nhất $x=-1$ và $x=-1$ thỏa $\left(5\right).$ Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-1.$

Vậy $m=2\iff a=\frac{2}{3}.$

Chọn đáp án C.