Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]

Phương pháp giải:

- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm \[I \in \Delta \] theo biến t.

- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nên \[R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\]. Giải phương trình tìm t và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.

- Mặt cầu tâm \[I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\], bán kính R có phương trình là \[{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\].

Giải chi tiết:

Gọi tâm mặt cầu là \[I\left( {1 + t; - 1 + t;2t} \right) \in \Delta \].

Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nên \[R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\].

\[ \Rightarrow \frac{{\left| {1 + t - 2\left( { - 1 + t} \right) + 3.2t} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| {1 + t - 2\left( { - 1 + t} \right) + 3.2t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }}\]

\[ \Leftrightarrow \left| {5t + 3} \right| = \left| {5t + 7} \right| \Leftrightarrow 5t + 3 = - 5t - 7 \Leftrightarrow t = - 1\]

Khi đó mặt cầu có tâm \[I\left( {0; - 2; - 2} \right)\], bán kính \[R = \frac{{\left| { - 5 + 3} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}\].

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là \[{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{2}{7}\]

Đáp án B