Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA\]vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right),SA = a,AB = a\],\[AC = 2a,\] \[\widehat {BAC} = {60^0}.\] Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\].

Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)

\( \Rightarrow \Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

Gọi \(E\) là trung điểm \(SA.\)

Trong \(\left( {SA,\Delta } \right),\) gọi \(O\) là giao điểm của \(\Delta \) với đường trung trực cạnh \(SA.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = OC\left( {O \in \Delta } \right)\\OS = OA\left( {O{\rm{ thuo\"a c \~n \"o \^o {\o}ng trung tr\"o \"i c ca\"i nh SA}}} \right)\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow OS = OA = OB = OC\)

\( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC,\) bán kinh \(R = OA.\)

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos {60^0} = 3{a^2}.\)

\( \Rightarrow BC = a\sqrt 3 .\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{R_{\left( {ABC} \right)}}}} \Leftrightarrow {R_{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{a.2a.a\sqrt 3 }}{{4.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = a.\)

\( \Rightarrow AI = a.\)

Tứ giá \(AEOI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AO = \sqrt {A{E^2} + A{I^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

Diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = 5\pi {a^2}.\)

Đáp án C