Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AC = AD = BC = BD = 1\], mặt phẳng\[\left( {ABC} \right) \bot (ABD)\] và \[\left( {ACD} \right) \bot (BCD)\]. Khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]là:

Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(AB.\)

\(\Delta ACD\) cân tại \(A\) nên \[AH \bot CD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = AH\]

Đặt \(AH = x.\)

\(HD = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {1 - {x^2}} \).

\(\Delta BCD = \Delta ACD \Rightarrow HB = HA = x\) (hai đường cao tương ứng bằng nhau).

\( \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{A^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}.\)

Mặt khác, ta lại có:

\(\Delta ABD\) cân tại \(D\) nên \(DK \bot AB \Rightarrow AH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DK \bot CK \Rightarrow \Delta KCD\) là tam giác vuông tại \(K.\)

Suy ra \(HK = \frac{1}{2}CD \Leftrightarrow HK = HD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2} = \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)

Đáp án D