Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x + m} \right)\) có đúng \(9\) điểm cực trị?

Dùng ghép trục

Đặt \[t(x) = {x^2} - 2x - 2|x - 1| + m\]

=>\[t(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + m - 2{\rm{ khi x < 1}}\\{{\rm{x}}^2} - 4x + 2 + m{\rm{ khi x}} \ge {\rm{1}}\end{array} \right.\]

\[ = >t'(x) = \left\{ \begin{array}{l}{\rm{2x khi x < 1}}\\2x - 4{\rm{ khi x >1}}\end{array} \right.\], \[t'(x)\] không xác định tại x=1

\[t'(x) = 0 < = >\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\]

Ta có bảng biến thiên sau:

Ta xét các trường hợp sau, sử dụng phương pháp ghép trục:

TH1: \[m - 1 < 1 < = >m < 2\]

Ta có bảng biến thiên sau:

=>Hàm số có 9 cực trị =>thỏa mãn

TH2: \[m = 2\]

Ta có bảng biến thiên sau:

=>Hàm số có 9 cực trị =>thỏa mãn

TH3: \[2 < m < 3 < = >0 < m - 2 < 1 < m - 1 < 2\]

Ta có bảng biến thiên sau:

=>Hàm số có 11 cực trị =>không thỏa mãn

TH4: \[m = 3\]

Ta có bảng biến thiên sau:

=>Hàm số có 7 cực trị =>không thỏa mãn

TH5: \[\]

Ta có bảng biến thiên sau:

=>Hàm số có 11 cực trị =>không thỏa mãn

TH6: \[m = 4\]

Ta có bảng biến thiên sau:

=>Hàm số có 5 cực trị =>không thỏa mãn

TH7: \[m >4,m < 5 < = >2 < m - 2 < 3 < m - 1\]

Ta có bảng biến thiên sau:

=>Hàm số có 9 cực trị =>thỏa mãn

TH8: \[m = 5\]. Tương tự =>Không thỏa mãn

TH9: \[m >5 < = >3 < m - 2 < m - 1\]. Tương tự =>Không thỏa mãn

Kết hợp các trường hợp ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m = 2\\4 < m < 5\end{array} \right. < = >\left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\4 < m < 5\end{array} \right.\]

Mà \[2m \in \mathbb{Z}\] và \[0 \le m \le 6\]\[ = >m = \left\{ {0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{9}{2})} \right.\]

Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án D