Câu hỏi:
15/05/2022 1,414Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên
![Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên\(x\)2 3 \(\frac{7}{2}\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/blobid0-1649620026.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} = m.f(x)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) ?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} = mf\left( x \right) \Leftrightarrow m = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\)
Số nghiệm của phương trình \(m = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) bằng số giao điểm của hàm số \(y = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) với đường thẳng \(y = m.\)
Đặt \(g\left( x \right) = x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} \)
Ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 2\) tại \(x = 2,\) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 4 + 4\sqrt 2 \) tại \(x = 4\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2\) tại \(x = 4,\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 4\) tại \(x = 2\)
Do \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 4\) đều đồng thời xảy ra tại \(x = 2\)
Suy ra: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \left( {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}} \right) = \frac{{\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right)}}{{\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Do \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 4 + 4\sqrt 2 \) đều đồng thời xảy ra tại \(x = 4\)
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \left( {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}} \right) = \frac{{\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right)}}{{\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right)}} = \frac{{4 + 4\sqrt 2 }}{2} = 2 + 2\sqrt 2 \)
Mà hàm số \(y = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right].\)
Vậy \(\frac{1}{2} \le m \le 2 + 2\sqrt 2 ,\) mà \(m\) nguyên nên \(m\) nhận các giá trị \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}\) nên chọn đáp án D.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) , có bảng biến thiên như sau. Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Xem đáp án »
15/05/2022
15,585
Câu 2:
Đặt \({\log _2}5 = a\), \({\log _3}2 = b\). Tính \({\log _{15}}20\) theo \(a\) và \(b\) ta được
Xem đáp án »
15/05/2022
5,271
Câu 3:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là
Xem đáp án »
15/05/2022
3,945
Câu 5:
Cho tứ diện \[OABC\] có \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc nhau và \[OA = OB\]\[ = OC = 3a\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[OB\].
Xem đáp án »
15/05/2022
3,620
Câu 6:
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], cạnh bên bằng \[\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]. Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là:
Xem đáp án »
15/05/2022
3,477
Câu 7:
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AC = AD = BC = BD = 1\], mặt phẳng\[\left( {ABC} \right) \bot (ABD)\] và \[\left( {ACD} \right) \bot (BCD)\]. Khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]là:
Xem đáp án »
15/05/2022
3,345
về câu hỏi!