Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} = m.f(x)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) ?

Ta có: \(x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} = mf\left( x \right) \Leftrightarrow m = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\)

Số nghiệm của phương trình \(m = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) bằng số giao điểm của hàm số \(y = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) với đường thẳng \(y = m.\)

Đặt \(g\left( x \right) = x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} \)

Ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 2\) tại \(x = 2,\) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 4 + 4\sqrt 2 \) tại \(x = 4\)

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2\) tại \(x = 4,\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 4\) tại \(x = 2\)

Do \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 4\) đều đồng thời xảy ra tại \(x = 2\)

Suy ra: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \left( {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}} \right) = \frac{{\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right)}}{{\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Do \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right) = 4 + 4\sqrt 2 \) đều đồng thời xảy ra tại \(x = 4\)

Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} \left( {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}} \right) = \frac{{\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} g\left( x \right)}}{{\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right)}} = \frac{{4 + 4\sqrt 2 }}{2} = 2 + 2\sqrt 2 \)

Mà hàm số \(y = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{f\left( x \right)}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right].\)

Vậy \(\frac{1}{2} \le m \le 2 + 2\sqrt 2 ,\) mà \(m\) nguyên nên \(m\) nhận các giá trị \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}\) nên chọn đáp án D.