Cho hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)\left( {m + \left| {2x} \right|} \right)\) và \(y = - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) . có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trên đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để \(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.

Nhận thấy \( - 1; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}\) không là nghiệm của phương trình:

\( - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)\left( {m + 2\left| x \right|} \right)\left( 1 \right).\)

Nên \(\left( 1 \right) \Rightarrow m + 2\left| x \right| = \frac{{ - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = - 2x + \frac{{11{x^2} + 12x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}}.\)

\( \Leftrightarrow m = - 2\left| x \right| - 2x + \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{2x + 1}} + \frac{1}{{3x + 1}}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 2\left| x \right| - 2x + \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{2x + 1}} + \frac{1}{{3x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}} \right\}.\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2x}}{{\left| x \right|}} - 2 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} - \frac{3}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}} \right\}\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(m = f\left( x \right)\) có 3 nghiệm phân biệt trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}} \right\}\) khi và chỉ khi \(m \ge 0.\)