Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA = x\], \[BC = y\], \[AB = AC = SB = SC = 1\]. Thể tích khối chóp \[S.ABC\] lớn nhất khi tổng \[\left( {x + y} \right)\] bằng

Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(BC,SA\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right).\)

Hai tam giác cân \(ABC,SBC\) bằng nhau nên \(IA = IS\) suy ra \(\Delta ISA\) cân tại \(I.\)

Trong \(\Delta SBI\) vuông tại \(I\) ta có \(SI = \sqrt {S{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{1^2} - \frac{{{y^2}}}{4}} .\)

Trong \(\Delta SAI\) cân tại \(I\) ta có \(IJ = \sqrt {S{I^2} - S{J^2}} = \sqrt {{1^2} - \frac{{{y^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} .\)

Khi đó thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}.BC.{S_{SAI}} = \frac{1}{3}.BC.AI.IJ = \frac{1}{6}xy\sqrt {1 - \frac{{{y^2} + {x^2}}}{4}} \)

Ta có \({x^2} + {y^2} \ge 2xy,\forall x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow V \le \frac{1}{6}xy\sqrt {1 - \frac{{xy}}{2}} \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}}\sqrt {xy} .\sqrt {xy} .\sqrt {4 - 2xy} \le \frac{1}{{12}}{\left( {\frac{{xy + xy + 4 - 2xy}}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}} \le \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\)

Dấu “=” xảy ra tại \(x = y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) suy ra \(x + y = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)

Đáp án D