Cho \(4\) số \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} = 4a + 6b - 9\) và \(3c + 4d = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2}\) ?

Ta có: \({a^2} + {b^2} = 4a + 6b - 9 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {2^2}.\)

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) gọi \(A\left( {a;b} \right),B\left( {c;d} \right).\)

Khi đó \(A\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( {2;3} \right)\) bán kính \(R = 2\) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {2^2}.\) \(B\left( {c;d} \right)\) nằm trên đường thẳng: \(3x + 4y = 1.\)

Vì \(\overrightarrow {BA} = \left( {a - c;b - d} \right)\) nên \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|^2}.\) Khi đó \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\) nhỏ nhất.

Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( \Delta \right):{d_{\left( {I,\left( \Delta \right)} \right)}} = \frac{{3.2 + 4.3 - 1}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{17}}{5}.\) Vì \({d_{\left( {I,\left( \Delta \right)} \right)}} >R\) nên \(\left( I \right)\) và \(\left( \Delta \right)\) không giao nhau.

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\) nhỏ nhất khi \(I,A,B\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(I,B\) và \(IB \bot \left( \Delta \right)\) như hình sau.

$\min \left(\left|\overrightarrow{BA}\right|\right)=d_{\left(\text{I,}\left(\Delta \right)\right)}-R=\frac{17}{5}-2=\frac{7}{5}.$

\(\min \left( P \right) = \min \left( {{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|}^2}} \right) = {\left( {\frac{7}{5}} \right)^2} = \frac{{49}}{{25}}.\)

Đáp án D