Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đoạn \(\left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 4\cos x + m} \right) + 1.\)</>

Để đoạn \(\left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 4\cos x + m} \right) + 1\) thì:

\({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 4\cos x + m} \right) + 1,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {\frac{{{{\cos }^2}x + 4\cos x + m}}{5}} \right),\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + 4\cos x + m >0\\5{\cos ^2}x + 5 >{\cos ^2}x + 4\cos x + m\end{array} \right.,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >- {\cos ^2}x - 4\cos x\\m < 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 5\end{array} \right.,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)\(\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \cos x.\) Khi đó ta có (1) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}m >- {t^2} - 4t\\m < 4{t^2} - 4t + 5\end{array} \right.,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right].\)

+ Để \(m >- {t^2} - 4t,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right] \Leftrightarrow m >\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} \left( { - {t^2} - 4t} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{7}{4};f\left( { - 1} \right) = - 5.\) Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} f\left( t \right) = \frac{7}{4}.\) Nên \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow m >\frac{7}{4}.\)

+ Để \(m < 4{t^2} - 4t + 5,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} \left( {4{t^2} - 4t + 5} \right){\rm{ }}\left( 3 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 4t + 5,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right].\) Ta có \(g'\left( t \right) = 8t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}.\)

\(g\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 8,g\left( 1 \right) = 5,g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 4.\) Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} g\left( t \right) = 4.\) Nên \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow m < 4.\)

Vậy \(m \in \left( {\frac{7}{4};4} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C