Câu hỏi:
25/04/2022 156Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo \(BD'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi \(O\) là trung điểm \(BD'.\)
Gọi \(E,F\) là tâm hình vuông \(ABB'A'\) và \(DCC'D'.\)
Giả sử thiết diện qua \(BD'\) và cắt \[AD\] trung điểm \(M\) của \(AD.\)
Trong \(\left( {ADC'B'} \right)\) gọi \(N = B'C' \cap OM \Rightarrow N\) là trung điểm \(B'C'.\)
\( \Rightarrow MN = AB' = BC' = \sqrt 2 .\)
Tứ giác \(BMD'N\) là hình thoi \(\left( {MB = MD' = NB = ND' = \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right).\)
\({S_{BMD'N}} = \frac{1}{2}MN.BD' = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)
Ta chứng minh \(M\) là trung điểm của \(AD\) thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy \(M'\) bất kỳ trên \(AD.\) Kẻ \(M'H \bot EF,M'K \bot BD'.\)
Tứ giác \(MM'HO\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M'H = MO\\M'H//MO\end{array} \right..\)
Mà \(MO \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow M'H \bot \left( {A'BCD'} \right).\)
\(\Delta M'HK\) vuông tại \(H \Rightarrow M'K \ge M'H = MO\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{S_{BM'D'N'}} = 2{S_{\Delta M'BD'}} = 2.\frac{1}{2}M'K.BD' = \sqrt 3 M'K\\{S_{BMD'N}} = 2{S_{\Delta MBD}} = 2.\frac{1}{2}MO.BD' = \sqrt 3 MO\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {S_{BM'D'N'}} \ge {S_{BMD'N}}.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M' \equiv M.\)
Đáp án B.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 2:
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt[3]{x}}}}},x >0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 3:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( { - x + 5} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
Câu 4:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
Câu 5:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a;BC = 2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
Câu 6:
Cho \(a,b,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn \({4^a} = {25^b} = {10^c}.\) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{c}{a} + \frac{c}{b}.\)
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang có \(AD//BC,M\) là điểm di động trong hình thang \(ABCD.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\) và \(SB\) lần lượt cắt các mặt \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) tại \(N\) và \(P.\) Cho \(SA = a,SB = b.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = M{N^2}.MP.\)
về câu hỏi!