Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}.\)
A.\(4{a^3}\).
B.\(2{a^3}\).
C.\(\frac{{3{a^2}}}{8}\).
D.\({a^2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi I là tâm mặt cầu (S) thì I là tâm của tứ diện ABCD.
Gọi N là trung điểm của CD, O là tâm của tam giác BCD.
Ta có:
\[\begin{array}{l}BO = \frac{2}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},ON = \frac{1}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\\AI = \frac{3}{4}AO = \frac{{a\sqrt 6 }}{4},OI = \frac{1}{4}AO = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\\IN = \sqrt {O{I^2} + O{N^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\end{array}\]
Bán kính mặt cầu là \[R = IN = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\]
\[\begin{array}{l}T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IB} )^2} + {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IC} )^2} + {(\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {ID} )^2}\\ = 4{\overrightarrow {IM} ^2} - 2\overrightarrow {IM} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} ) + ({\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + {\overrightarrow {IC} ^2} + {\overrightarrow {ID} ^2})\\ = 4{R^2} + 4I{A^2}\\ = 2{a^2}\end{array}\]
Vậy \[T = 2{a^2}\]
Đáp án B
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\(1 \le m < 2.\)
B.\(1 < m \le 2\).
C.\(1 < m < 2\).
D.\(1 \le m \le 2\).
Lời giải
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Ta có: \(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x + 3.\)
Trường hợp 1: \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow y = 3x + 2 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Trường hợp 2: \(m - 1 \ne 0 \Rightarrow y' \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 >0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >1\\9{\left( {m - 1} \right)^2} - 9\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >1\\1 \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 2.\)
Kết hợp hai trường hợp trên suy ra \(1 < m \le 2.\)
Đáp án D
Câu 2
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt[3]{x}}}}},x >0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.\(P = {x^{\frac{2}{3}}}.\)
B.\(P = {x^{\frac{1}{4}}}.\)
C.\(P = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}.\)
D.\(P = {x^{\frac{1}{2}}}.\)
Lời giải
\(P = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}}} = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x.{x^{\frac{7}{6}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{{13}}{6}}}}} = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}\)
Đáp án C
Câu 3
A.\(A = \frac{1}{2}\).
B.\(A = \frac{1}{{10}}\).
C.\(A = 2\).
D.\(A = 10\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\({45^0}\).
B.\({90^0}\).
C.\({60^0}\).
D.\({30^0}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\(\frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{9}\).
B.\(2{a^3}\sqrt {15} \).
C.\(2{a^3}\).
D.\(\frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo