Câu hỏi:
25/04/2022 230Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AD = DC = a,AB = 2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\)cùng vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB.\)
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,\) dễ thấy \(ADCM\) là hình vuông \( \Rightarrow MC = AM = \frac{1}{2}AB\)
\( \Rightarrow \Delta ACB\) là tam giác vuông tại \(C\)
Gọi \(N\) đối xứng với \(C\) qua \(M \Rightarrow ACBN\) là hình chữ nhật
\(AC//BN \Rightarrow AC//\left( {SBN} \right) \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABN}}}}{{{S_{\Delta SBN}}}}.\)
Tính \({V_{S.ABN}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABN}} = \frac{1}{6}SA.AN.NB = \frac{1}{6}SA.BC.AC\)
\(SA = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 ;BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 2 \)
Như vậy: \({V_{S.ABN}} = \frac{1}{6}.a\sqrt 6 .a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
Ta có: \(SN = \sqrt {S{A^2} + A{N^2}} = \sqrt {6{a^2} + 2{a^2}} = 2\sqrt 2 a\)
Xét \(\Delta SBN\) vuông tại \(N,\left( {BN \bot AN;BN \bot SA \Rightarrow BN \bot SN} \right)\)
Ta có: \({S_{SBN}} = \frac{1}{2}SN.NB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 a.a\sqrt 2 = 2{a^2}\)
Suy ra \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABN}}}}{{{S_{\Delta ABN}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}}}{{2{a^2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)
Đáp án C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 2:
Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt[3]{x}}}}},x >0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 3:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( { - x + 5} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
Câu 4:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
Câu 5:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a;BC = 2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
Câu 6:
Cho \(a,b,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn \({4^a} = {25^b} = {10^c}.\) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{c}{a} + \frac{c}{b}.\)
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang có \(AD//BC,M\) là điểm di động trong hình thang \(ABCD.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\) và \(SB\) lần lượt cắt các mặt \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) tại \(N\) và \(P.\) Cho \(SA = a,SB = b.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = M{N^2}.MP.\)
về câu hỏi!