Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh \(AD = 2CD.\) Biết hai mặt \(\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn \(BD = 6;\) góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Hai điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB.\) Thể tích khối đa diện \(ABCDMN\) bằng

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD;E\) là trung điểm của \(CD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot CD\\SO \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SEO} = {60^0}\)

Đặt \(AD = 2CD = 2x\)

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = 5{x^2} \Leftrightarrow 5{x^2} = 36 \Rightarrow x = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Rightarrow AD = \frac{{12\sqrt 5 }}{5};CD = \frac{{6\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{72}}{5}\)

\(OE = \frac{{AD}}{2} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\)

Trong tam giác vuông \(SOE\) có \(SO = OE.\tan {60^0} = \frac{{6\sqrt {15} }}{5}.\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{{144\sqrt {15} }}{{25}}\)

\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\)

\(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2};\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{S.MNCD}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = \frac{3}{8}.{V_{S.ABCD}}\)

\({V_{ABCDMN}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.MNCD}} = \frac{5}{8}.{V_{S.ABCD}} = \frac{{18\sqrt {15} }}{5}.\)

Đáp án C