Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left(P\right):3x+y-z+5=0$ và hai điểm $A\left(1;0;2\right),B\left(2;-1;4\right)$ . Tập hợp các điểm $M\left(x;y;z\right)$  nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$  sao cho tam giác $MAB$ có diện tích nhỏ nhất là đường thẳng có phương trình

Đáp án C

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;2\right)$ , vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$ là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(3;1;-1\right)$ .

Ta thấy hai điểm $A,B$ nằm cùng 1 phía với mặt phẳng $\left(P\right)$ và $AB$ song song với $\left(P\right)$ .

Điểm $M\in \left(P\right)$  sao cho tam giác $ABM$ có diện tích nhỏ nhất

 $\iff S_{\Delta ABC}=\frac{AB.d\left(M;AB\right)}{2}$ nhỏ nhất

 $\iff d\left(M;AB\right)$ nhỏ nhất, hay$M\in \Delta =\left(P\right)\cap \left(Q\right)$ , $\left(Q\right)$  là mặt phẳng đi qua $AB$ và vuông góc với $\left(P\right)$ .

 $\Rightarrow \Delta \text{//}AB$ hay $\Delta$ nhận $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;2\right)$ là một vectơ chỉ phương.

Ta có vectơ pháp tuyến của $\left(Q\right)$ là $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(-1;7;4\right)$

Þ Phương trình mặt phẳng $\left(Q\right):-1\left(x-1\right)+7y+4\left(z-2\right)=0\iff x-7y-4z+7=0$

Þ Tập hợp các điểm $M\left(x;y;z\right)$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-7y-4z+7=0\\ 3x+y-z+5=0\end{array}\right.$.

Chọn $x=-1\Rightarrow y=-\frac{2}{11};z=\frac{20}{11}$

$\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-\frac{2}{11}-t\\ z=\frac{20}{11}+2t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$.