Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+3x-4$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

Đáp án B

Đặt $u=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\Rightarrow u^3=f\left(x\right)+m$ . Khi đó, ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=u+m$

$\Rightarrow u^3+u={\left(f\left(x\right)\right)}^3+f\left(x\right)\left(*\right)$

Xét hàm số $g\left(x\right)=x^3+x\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+1>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$

Þ Hàm số $y=g\left(x\right)$  luôn đồng biến trên $ℝ$

$\iff \left(*\right)\iff u=f\left(x\right)\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-m=f\left(x\right)\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-f\left(x\right)=m\left(**\right)$

Đặt $t=f\left(x\right)\Rightarrow \left(**\right)\iff t^3-t=m$

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+3x-4\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+3>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$

Þ Hàm số $y=f\left(x\right)$  luôn đồng biến trên $ℝ$

Þ Mỗi giá trị của t cho duy nhất một nghiệm của phương trình $x^3+3x-4=t$

Þ Phương trình ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình $t^3-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-t\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-1$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình $t^3-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt $\iff m=\pm \frac{2\sqrt{3}}{9}$ .