Cho hàm số \[f(x)\]có \[f'(x) = \sin (2x).co{s^2}(4x)\]và \[f(0) = 0\]. Tính \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \] bằng:
A. \[\frac{{7\pi }}{{60}}\].
B. \[\frac{{7\pi }}{{50}}\].
C. \[\frac{\pi }{{10}}\].
D. \[\frac{{7\pi }}{{30}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có
\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \sin \left( {2x} \right).co{s^2}\left( {4x} \right) \Rightarrow \int {f'\left( x \right)dx = \int {\sin \left( {2x} \right).co{s^2}\left( {4x} \right)dx} } \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \int {\sin \left( {2x} \right).\frac{{1 + \cos \left( {8x} \right)}}{2}} dx\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{4}\cos \left( {2x} \right) + \frac{1}{4}\int {\left( {\sin 10x - \sin 6x} \right)} dx\\ \Leftrightarrow f(x) = \frac{{ - 1}}{4}\cos 2x - \frac{1}{{40}}\cos 10x + \frac{1}{{24}}\cos 6x + C\end{array}\]
\[f(0) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{7}{{30}}\]
Vậy \[f(x) = \frac{{ - 1}}{4}\cos \left( {2x} \right) - \frac{1}{{40}}\cos \left( {10x} \right) + \frac{1}{{24}}\cos \left( {6x} \right) + \frac{7}{{30}}\]
Do đó:
\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{8}\sin 2x - \frac{1}{{400}}\sin 10x + \frac{1}{{144}}\sin 6x + \frac{7}{{30}}x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{7\pi }}{{60}}\]
Chọn đáp án A
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\(x \le \frac{4}{3}\).
B. \(x \ge \frac{{11}}{3}\).
C.\(x \le \frac{{11}}{3}\).
D.\(x \ge \frac{4}{3}\).
Lời giải
Ta có \[{\log _3}(3x - 2) \ge 2 \Leftrightarrow 3x - 2 \ge 9 \Leftrightarrow x \ge \frac{{11}}{3}.\]
Chọn đáp án B
Câu 2
A. \(\left( { - \infty \,;\,15} \right)\).
B. \(\left( {15\,;\, + \infty } \right)\).
C. \(\left( { - \infty \,;\,3} \right)\).
D. \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
Lời giải
Ta có \({3^{2x - 3}} >27 \Leftrightarrow 2x - 3 >3 \Leftrightarrow 2x >6 \Leftrightarrow x >3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
Chọn đáp án D
Câu 3
A. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^2} + x} \right)} {\rm{d}}x\).
B. \(S = \int\limits_1^{ - 1} {\left( {{x^2} + x} \right)} {\rm{d}}x\).
C. \(S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)} {\rm{d}}x\).
D. \(S = \int\limits_0^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)} {\rm{d}}x\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[{(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 4\].
B. \[{(x + 2)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 5\].
C. \[{(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = \sqrt 5 \].
D. \({(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
B. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\).
D. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[y\, = \, - \,{x^3}\, + \,3x\, + \,2\].
B. \[y\, = \, - \,{x^3}\, + \,3{x^2}\, - \,2\].
C. \[y\, = {x^3}\, - \,3x\, + \,2\].
D . \[y\, = \,{x^3}\, - \,3{x^2}\, + \,2\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(2\sqrt 3 \).
B. \(5\sqrt 2 \).
C. \(20\).
D. \(2\sqrt 5 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo