Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \[m\] sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {{x^2} - 2x + 1 + m} \right|\] trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] bằng \[5\]. Tính tổng các phần tử của \(S\) bằng

Xét hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1 + m\] có \[f'\left( x \right) = 2x - 2\].

Cho \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\].

Ta có \[f\left( { - 1} \right) = m + 4\], \[f\left( 1 \right) = m\] và \[f\left( 2 \right) = m + 1\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = m + 4\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = m\end{array} \right.\].

Suy ra \[\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = {\rm{max}}\left\{ {\left| {m + 4} \right|;\left| m \right|} \right\} = 5\].

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 4} \right| = 5\\\left| {m + 4} \right| >\left| m \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 & & \left( n \right)\\m = - 9 & & \left( l \right)\end{array} \right.\].

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| = 5\\\left| m \right| >\left| {m + 4} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5 & & (l)\\m = - 5 & & \left( n \right)\end{array} \right.\].

Do đó tổng các phần tử của \[S\] bằng \[1 + \left( { - 5} \right) = - 4\].

Chọn đáp án B