Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \[y = 2{x^2} - 1\] và nửa đường tròn có phương trình \[y = \sqrt {2 - {x^2}} \] (với \[ - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \]) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Chọn đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \[2{x^2} - 1 = \sqrt {2 - {x^2}} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 1 \ge 0\\4{x^4} - 4{x^2} + 1 = 2 - {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 1 \ge 0\\4{x^4} - 3{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\].

Diện tích hình \[\left( H \right)\] bằng: \[S = 2\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - 2{x^2} + 1} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {\sqrt {2 - {x^2}} dx} + 2\int\limits_0^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} \right)dx} \]

\[ = 2{I_1} + \left. {2\left( {\frac{{ - 2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 = 2{I_1} + \frac{2}{3}\].

Tính \[{I_1} = \int\limits_0^1 {\sqrt {2 - {x^2}} dx} \] đặt \[x = \sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos tdt\] với \[t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\]

Đổi cận\[\left| \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {2 - 2{{\sin }^2}t} .\sqrt 2 \cos tdt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {2{{\cos }^2}tdt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \]

\[ = \left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2} \Rightarrow S = 2{I_1} + \frac{2}{3} = \frac{\pi }{2} + 1 + \frac{2}{3} = \frac{{3\pi + 10}}{6}\].