Trong không gian Oxyz,cho điểm \[A\left( {2; - 1; - 2} \right)\] và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\]. Mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

Chọn đáp án D

Kẻ \(AK \bot d{\rm{ }}\left( {K \in d} \right) \Rightarrow K\left( {t + 1;1 - t;t + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {t - 1;2 - t;t + 3} \right)\).

Ép cho \(AK \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right) + \left( {t - 2} \right) + \left( {t + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\)

\( \Rightarrow K\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {KA} = \left( {1; - 2; - 3} \right) \Rightarrow KA = \sqrt {14} \).

Kẻ \(KH \bot \left( P \right) \Rightarrow d\left( {d;\left( P \right)} \right) = d\left( {K;\left( P \right)} \right) = KH \le KA = \sqrt {14} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left( P \right)\) qua Avà vuông góc với KA.

Khi đó \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {KA} = \left( {1; - 2; - 3} \right)\) là một VTPT.

Vậy \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng có phương trình \(3x + z + 2 = 0\).