Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu \[\left( {{S_m}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - m} \right)^2} = \frac{{{m^2}}}{4}\] (\[m \ne 0\] và m là tham số thực) và hai điểm \[A\left( {2;3;5} \right)\], \[B\left( {1;2;4} \right)\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để trên \[\left( {{S_m}} \right)\] tồn tại điểm M sao cho \[M{A^2} - M{B^2} = 9\]?

Chọn đáp án C

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), ta có \(M{A^2} - M{B^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} - \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 4} \right)}^2}} \right] = 9\)

\( \Leftrightarrow 38 - 4x - 6y - 10z - \left( {21 - 2x - 4y - 8z} \right) = 9 \Leftrightarrow - 2x - 2y - 2z + 8 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\)

Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(M{A^2} - M{B^2} = 9\) là mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).

Mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) có tâm \(I\left( {1;1;m} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\left| m \right|}}{2}\).

Trên \(\left( {{S_m}} \right)\) tồn tại điểm Msao cho \(M{A^2} - M{B^2} = 9\) \(\left( {{S_m}} \right)\) và \(\left( P \right)\) có điểm chung

\( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 1 + m - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} \le \frac{{\left| m \right|}}{2} \Leftrightarrow 2\left| {m - 1} \right| \le \sqrt 3 \left| m \right| \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} \le 3{m^2}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 16 \le 0 \Leftrightarrow 8 - 4\sqrt 3 \le m \le 8 + 4\sqrt 3 \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;...;14} \right\}\).