Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\], \[f\left( x \right)\] và \[f'\left( x \right)\] đều nhận giá trị dương trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\]. Biết rằng \[\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right).{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} + 4} \right]} {\mkern 1mu} dx = 4\int\limits_0^1 {\sqrt {f'\left( x \right)} } .f\left( x \right)dx\] và \[f\left( 0 \right) = 3.\] Tích phân \[\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^3}dx} \] bằng

Chọn đáp án B

Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên \(\left[ {1;4} \right]\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( {1;4} \right)\\y' = 2x - \frac{{16}}{{{x^2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\).

Tính \(y\left( 1 \right) = 17;{\rm{ }}y\left( 4 \right) = 20;{\rm{ }}y\left( 2 \right) = 12 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} y = 12\)

Chọn đáp án D

Kẻ \(AK \bot d{\rm{ }}\left( {K \in d} \right) \Rightarrow K\left( {t + 1;1 - t;t + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {t - 1;2 - t;t + 3} \right)\).

Ép cho \(AK \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right) + \left( {t - 2} \right) + \left( {t + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\)

\( \Rightarrow K\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {KA} = \left( {1; - 2; - 3} \right) \Rightarrow KA = \sqrt {14} \).

Kẻ \(KH \bot \left( P \right) \Rightarrow d\left( {d;\left( P \right)} \right) = d\left( {K;\left( P \right)} \right) = KH \le KA = \sqrt {14} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left( P \right)\) qua Avà vuông góc với KA.

Khi đó \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {KA} = \left( {1; - 2; - 3} \right)\) là một VTPT.

Vậy \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng có phương trình \(3x + z + 2 = 0\).