Trong không gian Oxyz,cho điểm M thuộc mặt cầu (S) có phương trình \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] và ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {2;1;3} \right)\]; \[C\left( {0;2; - 3} \right)\]. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn \[M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\] là một đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\left( {3;3;2} \right)\)và bán kính \(R = 3\).

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), ta có \(M{A^2} = {\left( {1 - x} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 1\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x;1 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {MC} = \left( { - x;2 - y; - 3 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3{\rm{x}} - 3y - 7\)

Khi đó \(M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + 3{y^2} + 3{{\rm{z}}^2} - 6{\rm{x}} - 6y - 21 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y - 7 = 0 \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I'\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R' = 3\).

Như vậy \(M \in \left( S \right) \cap \left( {S'} \right)\), tập hợp các điểm M thỏa mãn bài toán là đường tròn \(\left( C \right)\)có tâm Hlà trung điểm của đoạn thẳng \[II'\] (vì \(R = R' = 3\)).

Bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt 6 \).