Giá trị nhỏ nhất của $P=a^2+b^2$  để hàm số $f\left(x\right)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1$  có đồ thị cắt trục hoành là

Đồ thị hàm số y=f(x)+a là đồ thị y=f(x) tịnh tiến lên trên một đoạn thẳng bằng a khi a>0 tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng |a| khia<0.

Hơn nữa đồ thị y=|f(x)+a| là:

+) Phần đồ thị của y=f(x)+a nằm phía trên trục Ox.

+) Lấy đối xứng phần đồ thị của y=f(x)+a nằm dưới Ox qua Ox và bỏ đi phần đồ thị của y=f(x)+a nằm dưới Ox.

Vậy để đồ thị hàm số y=|f(x)+a| có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y=f(x)+a xảy ra hai trường hợp:

+) Đồ thị hàm số y=f(x)+a có điểm cực tiểu nằm phía trên trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực đại dương. Khi đó $a\ge 3$.

+) Đồ thị hàm số y=f(x)+a có điểm cực đại nằm phía dưới trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực tiểu âm. Khi đó $a\le -1$.

Vậy giá trị a cần tìm là $a\le -1$ hoặc $a\ge 3$.