Câu hỏi:
15/06/2022 1,496Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = a\sqrt 3 ,AC = a.\) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C.\) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C.
Ta có \(BC = 2a.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A'\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Do \(A'\) cách đều \(A,B,C\) nên hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Do đó \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(\Delta AHC\) đều cạnh \(a.\)
Dựng hình bình hành \(HABK \Rightarrow K\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)
Do đó \(\left( {\widehat {AB',\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AB',AK}} \right) = \widehat {A'AK} = {60^0}.\)
Áp dụng định lý côsin trong \(\Delta AHK\) ta có:
\(AK = \sqrt {A{H^2} + H{K^2} - 2.AH.HK.\cos \left( {{{150}^0}} \right)} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - 2a.a\sqrt 3 .\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} = a\sqrt 7 .\)
\( \Rightarrow A'H = B'K = AK.\tan {60^0} = a\sqrt {21} .\)
Dựng hình bình hành \(ACBM\) ta có:
\(BC//AM \Rightarrow d\left( {BC,A'A} \right) = d\left( {BC,\left( {A'AM} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {A'AM} \right)} \right)\)
Kẻ \(HE \bot AM,HN \bot A'E \Rightarrow d\left( {H,\left( {A'AM} \right)} \right) = HN.\)
Ta có \(HE = AH.\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{A'{H^2}}} \Rightarrow HN = \frac{{a\sqrt {609} }}{{29}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{\sqrt {29} }}.\)
Vậy \(d\left( {AA',BC} \right) = d\left( {H,\left( {A'AM} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{\sqrt {29} }}.\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 2:
Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 18}}{{x - 2m}}.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
Câu 3:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Câu 4:
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai d=2. Tìm \({u_{20}}?\)
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Câu 6:
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{bx + c}},\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right).\) Khi đó giá trị biểu thức \(T = a - 3b - 2c\) bằng
Câu 7:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
về câu hỏi!