Câu hỏi:
29/04/2022 157Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm \(O\) và \(O',\) bán kính đáy bằng chiều cao bằng \(4a.\) Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A,D;\) trên đường tròn \[O'\]lấy điểm \(B,C\) sao cho \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB\) không cắt \(OO'.\) Tính độ dài \(AD\) để thể tích khối chóp \(O'.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Từ \(B,C\) kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm \(O\) lần lượt tại \(B',C'.\)
Vì \(AD\) và \(BC\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AB;CD} \right)\) với hai mặt phẳng song song nên \(AD//BC.\)
Suy ra: \(AD//B'C'\) hay \(AB'C'D\) là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.
\(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot DC'\\B'C' \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot CD\) mà \(BC//B'C'\) suy ra \(BC \bot CD.\)
Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Đặt \(BC = AD = 2x,\) gọi \(I,I'\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI' \bot BC\\OO' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OO'I'} \right) \Rightarrow \left( {OO'I'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và có giao tuyến \(I'I.\)
Từ \(O'\) kẻ đường vuông góc với \(I'I\) tại \(H,\) suy ra \(O'H\) là đường cao của hình chóp \(O'.ABCD\).
Gọi \(J\) là giao điểm của \(OO'\) và \(I'I,J\) là trung điểm của \(OO'.\)
Ta có: \(OI = O'I' = \sqrt {O'{C^2} - I'{C^2}} = \sqrt {16{a^2} - {x^2}} .\)
\(DC' = 2.OI = 2\sqrt {16{a^2} - {x^2}} \Rightarrow DC = \sqrt {DC{'^2} + CC{'^2}} = \sqrt {4\left( {16{a^2} - {x^2}} \right) + 16{a^2}} = 2\sqrt {20{a^2} - {x^2}} \)
\(\frac{1}{{O'{H^2}}} = \frac{1}{{O'{J^2}}} + \frac{1}{{O'I{'^2}}} = \frac{{O'{J^2} + O'I{'^2}}}{{O'{J^2}.O'I{'^2}}} \Rightarrow O'H = \frac{{O'J.O'I'}}{{\sqrt {O'{J^2} + O'I{'^2}} }} = \frac{{2a.\sqrt {16{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} - {x^2}} }}\)
Suy ra: \({V_{O'.ABCD}} = \frac{1}{3}.O'H.AD.DC = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt {16{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} - {x^2}} }}.2x.2\sqrt {20{a^2} - {x^2}} = \frac{8}{3}.x\sqrt {16{a^2} - {x^2}} \)
\( = \frac{{8a}}{3}\sqrt {{x^2}\left( {16{a^2} - {x^2}} \right)} \le \frac{{8a}}{3}.\frac{{{x^2} + 16{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{64{a^3}}}{3}.\)
Vậy \(\max {V_{O'.ABCD}} = \frac{{64{a^3}}}{3} \Leftrightarrow {x^2} = 16{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 a \Rightarrow AD = 4\sqrt 2 a.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
29/04/2022
6,977
Câu 2:
Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 18}}{{x - 2m}}.\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng
Xem đáp án »
29/04/2022
6,896
Câu 3:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Xem đáp án »
29/04/2022
5,288
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Xem đáp án »
29/04/2022
5,060
Câu 5:
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai d=2. Tìm \({u_{20}}?\)
Xem đáp án »
29/04/2022
4,956
Câu 6:
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + a}}{{bx + c}},\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right).\) Khi đó giá trị biểu thức \(T = a - 3b - 2c\) bằng
Xem đáp án »
29/04/2022
3,435
Câu 7:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
Xem đáp án »
29/04/2022
2,863
về câu hỏi!