Câu hỏi:

29/04/2022 344

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]?\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án A.

Đặt \(u = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Leftrightarrow {u^3} = f\left( x \right) + m \Leftrightarrow {u^3} - m = f\left( x \right).\)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( u \right) = {x^3} - m\\f\left( x \right) = {u^3} - m\end{array} \right. \Rightarrow f\left( u \right) = {x^3} - {u^3} \Leftrightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3}\left( * \right)\)

Xét \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + {t^3},g'\left( t \right) = f'\left( t \right) + 3{t^2} = 5{t^4} + 12{t^2} \ge 0,\forall t \in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow g\left( u \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow u = x.\)

Suy ra: \(x = \sqrt[3]{{g\left( x \right) + m}} \Leftrightarrow {x^3} = f\left( x \right) + m \Leftrightarrow {x^3} = {x^5} + 3{x^3} - 4m + m\)

\( \Leftrightarrow 3m = {x^5} + 2{x^3}.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3}.\) Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) \le 3m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right).\)

Ta có: \(h'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} >0,\forall x \in \left[ {1;2} \right],\) suy ra \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right].\)

Suy ra: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) = 3,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h = h\left( 2 \right) = {2^5} + {2.2^3} = 32 + 16 = 48.\)

Vậy: \(3 \le 3m \le 48 \Leftrightarrow 1 \le m \le 16.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = căn 2 . Góc giữa đường thẳng  (ảnh 1)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \supset AC \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA}.\)

Xét tam giác vuông \(SAC,\) ta có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}.\)

Câu 2

Lời giải

Đáp án C.

Ta có \(y' = - 2f'\left( {1 - 2x} \right).\)

Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến khi và chỉ khi \(y' = - 2f'\left( {1 - 2x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) >0.\)</>

Từ bảng xét dấu đã cho, ta có \(f'\left( {1 - 2x} \right) >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 < 1 - 2x < - 1\\1 - 2x >1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < 2\\x < 0\end{array} \right.\)

Do đó, hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)và \(\left( {1;2} \right).\)

Vậy, hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right).\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP