Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \[a.\] Biết \(SA = SB = SC = a.\) Đặt \(SD = x\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right).\) Tính \(x\) theo \(a\) sao cho \(AC.SD\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C.
Ta có \(\Delta SAC = \Delta ABC\left( {c - c - c} \right)\) và \(\Delta SAC,\Delta ABC\) lần lượt cân tại \(S\) và \(B.\)
Khi đó \(SO = BO = \frac{{BD}}{2}.\) Suy ra \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\) (đường trung tuyến bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đối diện).
Trong \(\Delta SBD\) ta có: \(BD = \sqrt {S{B^2} + S{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} .\)
Trong \(\Delta ABD\) áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(AO = \sqrt {\frac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right)}}{4} - \frac{{B{D^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{2\left( {{a^2} + {a^2}} \right) - \left( {{a^2} + {x^2}} \right)}}{4}} = \frac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}.\)
Suy ra \(AC = 2AO = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} .\)
Khi đó \(AC.SD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} .x = \sqrt {\left( {3{a^2} - {x^2}} \right){x^2}} .\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta có: \(AC.SD = \sqrt {\left( {3{a^2} - {x^2}} \right){x^2}} \le \frac{{3{a^2} - {x^2} + {x^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)
Vậy \(\max AC.SD = \frac{{3{a^2}}}{2}.\)
Dấu “=” xảy ra \(3{a^2} - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án D
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \supset AC \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA}.\)
Xét tam giác vuông \(SAC,\) ta có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}.\)
Lời giải
Đáp án C.
Ta có \(y' = - 2f'\left( {1 - 2x} \right).\)
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến khi và chỉ khi \(y' = - 2f'\left( {1 - 2x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) >0.\)</>
Từ bảng xét dấu đã cho, ta có \(f'\left( {1 - 2x} \right) >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 < 1 - 2x < - 1\\1 - 2x >1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < 2\\x < 0\end{array} \right.\)
Do đó, hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)và \(\left( {1;2} \right).\)
Vậy, hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right).\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo