Câu hỏi:
30/04/2022 210Gọi \(a\) là giá trị nhỏ nhất của \(f\left( n \right) = \frac{{\left( {{{\log }_5}2} \right)\left( {{{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}4} \right)...\left( {{{\log }_5}n} \right)}}{{{3^n}}},\) với \(n \in \mathbb{N},n \ge 2.\) Có bao nhiêu số \(n\) để \(f\left( n \right) = a?\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C.
Ta có \(\forall x \in \mathbb{N},n \ge 2\) ta có: \(f\left( n \right) >0.\)
Mặt khác: \(f\left( {n + 1} \right) = \frac{{\left( {{{\log }_5}2} \right)\left( {{{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}4} \right)...\left( {{{\log }_5}n} \right)\left( {{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)} \right)}}{{{3^{n + 1}}}} = f\left( n \right)\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3}.\)
\(f\left( {n - 1} \right) = \frac{{\left( {{{\log }_5}2} \right)\left( {{{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}4} \right)...\left( {{{\log }_5}\left( {n - 1} \right)} \right)}}{{{3^{n - 1}}}} = f\left( n \right)\frac{3}{{{{\log }_5}n}}.\)
Vì \(a\) là giá trị nhỏ nhất nên: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {n + 1} \right) \ge a\\f\left( {n - 1} \right) \ge a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( n \right)\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3} \ge a\\f\left( n \right)\frac{3}{{{{\log }_5}n}} \ge a\end{array} \right.\).
Để \(f\left( n \right) = a.\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( n \right)\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3} \ge f\left( n \right)\\f\left( n \right)\frac{3}{{{{\log }_5}n}} \ge f\left( n \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3} \ge 1\\\frac{3}{{{{\log }_5}n}} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}\left( {n + 1} \right) \ge 3\\3 \ge {\log _5}n\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {5^3} - 1 \le n \le {5^3}.\)
Vậy có 2 số \(n\) nguyên thỏa mãn.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)
Đã bán 986
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 5:
Cho hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {\log _2}x\) lần lượt có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\) Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là hai điểm lần lượt thuộc \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) sao cho tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I,\) trong đó \(I\left( { - 1; - 1} \right).\) Giá trị của \(P = \frac{{{x_A} + {y_A}}}{{{x_B} + {y_B}}}\) bằng
Xem đáp án »
30/04/2022
5,878
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) + 1 = 0\) là
Xem đáp án »
30/04/2022
4,844
Câu 7:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 4\) và công bội \(q = 2.\) Giá trị của \({u_2}\) bằng
Xem đáp án »
30/04/2022
3,930
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 5)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận